Considere o PVI
, com
. Determine a solução
Passo 1
O enunciado pede para determinar a solução
do problema de valor inicial (PVI)
Informações dadas que vamos usar: a equação diferencial de primeira ordem com coeficientes racionais em
e a condição inicial
. Observação útil:
para todo
, então não há problema com divisões por zero.
Passo 2
Vamos escrever a equação na forma padrão
identificando
Explicação do procedimento que vamos usar: procuramos um fator integrante
tal que, ao multiplicar a equação por
, o lado esquerdo se torne a derivada do produto
. Para isso precisamos de
satisfazendo
. Isso leva à fórmula
Aqui
é a função exponencial e
é uma primitiva de
.
Passo 3
Calcular a primitiva de
:
Reconhecemos que a derivada de
é
, logo
Para o fator integrante podemos tomar a constante
. Portanto
Como
temos
. Assim
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
:
Simplificando os fatores:
Agora verificamos que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
pelo uso da regra do produto:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso dá
onde
é constante de integração.
Passo 6
Aplicamos a condição inicial
. Substituindo
na equação anterior:
Portanto a relação entre
e
fica
Passo 7
Isolando
:
Comentário curto de verificação (opcional): derivando
obtemos
. Substituindo na equação original verifica-se que
logo a solução encontrada satisfaz a equação e a condição inicial.