Considere o PVI \frac{d y}{d x}+\frac{2 x}{1+x^{2}} y=\frac{1}{1+x^{2}}, com y(0)=0. Determine a solução y(x)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a solução y(x) do problema de valor inicial (PVI)
\frac{d y}{d x}+\frac{2 x}{1+x^{2}}\,y=\frac{1}{1+x^{2}},\qquad y(0)=0.
Informações dadas que vamos usar: a equação diferencial de primeira ordem com coeficientes racionais em x e a condição inicial y(0)=0. Observação útil: 1+x^{2}>0 para todo x, então não há problema com divisões por zero.

Passo 2

Vamos escrever a equação na forma padrão
y'+P(x)\,y=Q(x),
identificando
P(x)=\frac{2x}{1+x^{2}},\qquad Q(x)=\frac{1}{1+x^{2}}.
Explicação do procedimento que vamos usar: procuramos um fator integrante \mu(x) tal que, ao multiplicar a equação por \mu(x), o lado esquerdo se torne a derivada do produto \mu(x)\,y. Para isso precisamos de \mu satisfazendo \mu'=\mu P. Isso leva à fórmula
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
Aqui \exp é a função exponencial e \int P(x)\,dx é uma primitiva de P.

Passo 3

Calcular a primitiva de P(x):
\int P(x)\,dx=\int \frac{2x}{1+x^{2}}\,dx.
Reconhecemos que a derivada de 1+x^{2} é 2x, logo
\int \frac{2x}{1+x^{2}}\,dx=\ln(1+x^{2})+C.
Para o fator integrante podemos tomar a constante C=0. Portanto
\mu(x)=\exp\!\big(\ln(1+x^{2})\big).
Como 1+x^{2}>0 temos \exp(\ln(1+x^{2}))=1+x^{2}. Assim
\mu(x)=1+x^{2}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=1+x^{2}:
(1+x^{2})\,y' + (1+x^{2})\frac{2x}{1+x^{2}}\,y = (1+x^{2})\frac{1}{1+x^{2}}.
Simplificando os fatores:
(1+x^{2})\,y' + 2x\,y = 1.
Agora verificamos que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto (1+x^{2})y pelo uso da regra do produto:
\frac{d}{dx}\big((1+x^{2})y\big) = (1+x^{2})y' + 2x\,y.

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big((1+x^{2})y\big)\,dx = \int 1\,dx.
Isso dá
(1+x^{2})y = x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(0)=0. Substituindo x=0 na equação anterior:
(1+0^{2})\cdot 0 = 0 + C \implies C=0.
Portanto a relação entre y e x fica
(1+x^{2})y = x.

Passo 7

Isolando y:
y(x)=\frac{x}{1+x^{2}}.
Comentário curto de verificação (opcional): derivando y obtemos y'=\dfrac{1-x^{2}}{(1+x^{2})^{2}}. Substituindo na equação original verifica-se que
y' + \frac{2x}{1+x^{2}}y = \frac{1}{1+x^{2}},
logo a solução encontrada satisfaz a equação e a condição inicial.

Resposta

y(x)=\frac{x}{1+x^{2}}

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