Resolva a seguinte equação diferencial linear de primeira ordem:
Passo 1
Enunciado: Resolver a equação diferencial
O que se pede: encontrar a solução geral
da equação.
Informações dadas que vamos usar: a equação está na forma com
e
Informações dadas que vamos usar: a equação está na forma
Passo 2
Qual método usar e por quê (explicação curta e prática): uma maneira padrão, simples e segura é o método do fator integrante (integrating factor). Vou explicar a ideia didaticamente:
- Equação linear de primeira ordem tem a forma
Aqui
é a função incógnita (depende de
),
é o coeficiente que multiplica
e
é o termo independente.
- O fator integrante
é definido por
Ele é escolhido porque, ao multiplicar toda a equação por
, o lado esquerdo vira a derivada do produto
. Isso simplifica muito: reduzimos a equação para
, que integra facilmente.
Vou aplicar esse procedimento ao caso concreto.
Passo 3
Calcular o fator integrante para
:
Multiplico a equação original por
. Fazendo isso obtemos
No lado direito temos
, então a equação fica
Passo 4
Reconhecer que o lado esquerdo é a derivada do produto
: pela regra do produto,
Portanto a equação do passo anterior é equivalente a
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
Isso dá
onde
é a constante de integração (aquela constante arbitrária que sempre aparece em integrais).
Passo 5
Isolar
dividindo por
:
Pronto: essa é a solução geral. Aqui você pode ver a decomposição natural:
- a solução homogênea (quando o lado direito é zero) é
, - uma solução particular é
,
e a solução geral é.
Passo 6
(Verificação rápida e dica de prova) Podemos checar substuindo
na equação para ver que é realmente uma solução particular. Calculemos
:
Agora
Logo
funciona. Observação útil para prova: se você usar método dos coeficientes a determinar e o termo do lado direito é múltiplo da solução homogênea (aqui
), você precisa tentar uma forma multiplicada por
(daí
) — por isso o
apareceu.