Resolva a seguinte equação diferencial linear de primeira ordem:
y^{\prime}+2 y=e^{-2 x}

Passo 1

Enunciado: Resolver a equação diferencial
y'+2y=e^{-2x}.
O que se pede: encontrar a solução geral y(x) da equação.
Informações dadas que vamos usar: a equação está na forma \;y'+p(x)y=q(x)\; com \;p(x)=2\; e \;q(x)=e^{-2x}\;.

Passo 2

Qual método usar e por quê (explicação curta e prática): uma maneira padrão, simples e segura é o método do fator integrante (integrating factor). Vou explicar a ideia didaticamente:
  • Equação linear de primeira ordem tem a forma
y'+p(x)y=q(x).
Aqui y é a função incógnita (depende de x), p(x) é o coeficiente que multiplica y e q(x) é o termo independente.
  • O fator integrante \mu(x) é definido por
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
Ele é escolhido porque, ao multiplicar toda a equação por \mu(x), o lado esquerdo vira a derivada do produto \mu(x)y(x). Isso simplifica muito: reduzimos a equação para \dfrac{d}{dx}(\mu y)=\mu q, que integra facilmente.
Vou aplicar esse procedimento ao caso concreto.

Passo 3

Calcular o fator integrante para p(x)=2:
\mu(x)=e^{\int 2\,dx}=e^{2x}.
Multiplico a equação original por \mu(x)=e^{2x}. Fazendo isso obtemos
e^{2x}y' + 2e^{2x}y = e^{2x}\cdot e^{-2x}.
No lado direito temos e^{2x}\cdot e^{-2x}=1, então a equação fica
e^{2x}y' + 2e^{2x}y = 1.

Passo 4

Reconhecer que o lado esquerdo é a derivada do produto \;e^{2x}y\;: pela regra do produto,
\frac{d}{dx}\big(e^{2x}y\big)=e^{2x}y'+2e^{2x}y.
Portanto a equação do passo anterior é equivalente a
\frac{d}{dx}\big(e^{2x}y\big)=1.
Agora integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(e^{2x}y\big)\,dx=\int 1\,dx.
Isso dá
e^{2x}y = x + C,
onde C é a constante de integração (aquela constante arbitrária que sempre aparece em integrais).

Passo 5

Isolar y dividindo por e^{2x}:
y = e^{-2x}(x + C) = x e^{-2x} + C e^{-2x}.
Pronto: essa é a solução geral. Aqui você pode ver a decomposição natural:
  • a solução homogênea (quando o lado direito é zero) é \;y_h = C e^{-2x}\;,
  • uma solução particular é \;y_p = x e^{-2x}\;,
    e a solução geral é y=y_h+y_p.

Passo 6

(Verificação rápida e dica de prova) Podemos checar substuindo y=y_p=x e^{-2x} na equação para ver que é realmente uma solução particular. Calculemos y_p':
y_p = x e^{-2x}\quad\Rightarrow\quad y_p' = e^{-2x} + x(-2)e^{-2x} = e^{-2x}(1-2x).
Agora
y_p' + 2y_p = e^{-2x}(1-2x) + 2x e^{-2x} = e^{-2x}.
Logo y_p funciona. Observação útil para prova: se você usar método dos coeficientes a determinar e o termo do lado direito é múltiplo da solução homogênea (aqui e^{-2x}), você precisa tentar uma forma multiplicada por x (daí x e^{-2x}) — por isso o x apareceu.

Resposta

y(x)=x e^{-2x}+C e^{-2x}.

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