Resolva a seguinte equação diferencial; Note que x é a váriável da função y.
Resolva a equação
x y \frac{d y}{d x}=1+y^{2}

Passo 1

A equação dada é
x\,y\,\frac{dy}{dx}=1+y^{2},
que é de primeira ordem e admite separação de variáveis. Para resolvê-la, vamos isolar os termos que envolvem y num lado e os que envolvem x no outro.

Passo 2

Reescrevendo para separar variáveis, obtemos
y\,\frac{dy}{1+y^{2}}=\frac{dx}{x}.
Agora integramos ambos os lados.

Passo 3

Calculando as integrais, temos
\int \frac{y}{1+y^{2}}\,dy =\int \frac{dx}{x}.
No lado esquerdo use a substituição u=1+y^{2}, du=2y\,dy, então
\int \frac{y}{1+y^{2}}\,dy =\frac{1}{2}\int \frac{du}{u} =\frac{1}{2}\ln\bigl|u\bigr|+C_{1} =\frac{1}{2}\ln\bigl(1+y^{2}\bigr)+C_{1}.
Do lado direito,
\int \frac{dx}{x}=\ln\bigl|x\bigr|+C_{2}.

Passo 4

Igualando os resultados e combinando as constantes C=C_{2}-C_{1}, fica
\frac{1}{2}\ln\bigl(1+y^{2}\bigr)=\ln\bigl|x\bigr|+C \quad\Longrightarrow\quad \ln\bigl(1+y^{2}\bigr)=2\ln\bigl|x\bigr|+2C \quad\Longrightarrow\quad 1+y^{2}=K\,x^{2},
onde K=e^{2C} é constante arbitrária positiva.

Passo 5

Isolando y, vem
y^{2}=K\,x^{2}-1 \quad\Longrightarrow\quad y=\pm\sqrt{K\,x^{2}-1}.

Resposta

y(x)=\pm\sqrt{K\,x^{2}-1},
onde K é constante de integração.

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