Resolva a seguinte equação diferencial; Note que x é a váriável da função y.
y^{2} \sqrt{1-x^{2}} d y=\arcsin (x) d x, \quad y(0)=0no intervalo -1<x<1.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y^{2}\sqrt{1-x^{2}}\,dy = \arcsin(x)\,dx
com condição inicial y(0)=0, no intervalo -1<x<1.
Conteúdo: equação de variáveis separáveis.

Passo 2

Separe as variáveis y e x. Para isso, divida ambos os lados por \sqrt{1-x^{2}} e por y^{2}:
dy\cdot y^{2} = \frac{\arcsin(x)}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx.

Passo 3

Integre os dois lados:
\int y^{2}\,dy = \int \frac{\arcsin(x)}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx.

Passo 4

Calcule cada integral.
Para o lado esquerdo:
\int y^{2}\,dy = \frac{y^{3}}{3}.
Para o lado direito, use a substituição u = \arcsin(x), daí du = \tfrac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}, logo
\int \frac{\arcsin(x)}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx = \int u\,du = \frac{u^{2}}{2} = \frac{(\arcsin(x))^{2}}{2}.
Assim obtemos
\frac{y^{3}}{3} = \frac{(\arcsin(x))^{2}}{2} + C.

Passo 5

Aplique a condição inicial y(0)=0. Como \arcsin(0)=0, temos
0 = \frac{0^{2}}{2} + C \quad\Longrightarrow\quad C=0.
Portanto
\frac{y^{3}}{3} = \frac{(\arcsin(x))^{2}}{2}.

Passo 6

Isole y:
y^{3} = \frac{3}{2}\,(\arcsin(x))^{2} \quad\Longrightarrow\quad y = \sqrt[3]{\frac{3}{2}\,(\arcsin(x))^{2}}.

Resposta

y(x) = \sqrt[3]{\frac{3}{2}\,\bigl(\arcsin(x)\bigr)^{2}},\quad -1<x<1,\quad y(0)=0.

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