Resolva a seguinte equação diferencial ordinária (EDO) não homogênea de primeira ordem:
com condição inicial
. Use o método da transformada de Laplace (vulgo operador
).
Após encontrar a solução
:
(a) Faça um gráfico da função
e comente como ela evolui no tempo.
(b) Interprete o comportamento da solução.
Após encontrar a solução
(a) Faça um gráfico da função
(b) Interprete o comportamento da solução.
Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial ordinária (EDO) não homogênea de primeira ordem e uma condição inicial. Especificamente, temos:
com condição inicial
As perguntas são:
- Resolver a EDO usando a transformada de Laplace (operador
) e obter a solução . - (a) Fazer um gráfico da função
e comentar como ela evolui no tempo.
(b) Interpretar o comportamento da solução.
Também registro todas as informações relevantes que o enunciado fornece:
- A EDO é linear, de primeira ordem, com coeficiente constante
. - O termo forçante (não homogêneo) é
. - A condição inicial é
.
Não vou resolver nada aqui ainda; a resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Breve aula sobre a transformada de Laplace e propriedades que vamos usar (sem pular etapas).
- Definição: a transformada unilateral de Laplace de uma função
(para ) é
onde
é uma variável complexa (aqui trabalhamos com valores reais de
onde tudo converge).
- Propriedade linearidade:
. - Transformada da derivada (essencial para EDOs com condição inicial): se
é suficientemente regular, então
onde
e
é a condição inicial.
- Transformada de uma exponencial simples:
- Inversão simples que usaremos: se
então .
Vamos aplicar essas regras passo a passo à equação dada.
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace a ambos os lados da equação.
Defino .
Tomando em cada termo da EDO:
Defino
Tomando
Usando a propriedade da derivada e a definição de
, isso fica
pois
.
Passo 4
Substituo a condição inicial
na expressão do passo anterior e organizo em termos de
:
Somando
e isolando
, obtenho
Logo
Passo 5
Agora precisamos inverter
para obter
. Para isso vamos decompor a fração
em frações parciais (passo necessário para aplicar a tabela inversa simples).
Procuramos constantes e
tais que
Procuramos constantes
Multiplicando ambos os lados por
tem-se
Esse é um polinômio em
; podemos achar
e
usando valores convenientes de
.
Passo 6
Determinação de
e
:
- Coloco
: - Coloco
:
Portanto
Passo 7
Substituo essa decomposição em
:
Agrupando os termos com
,
Passo 8
Agora aplico a transformada inversa termo a termo usando
:
Esse é o resultado obtido pela transformada de Laplace. Façamos uma verificação rápida da condição inicial para checar consistência: em
,
que coincide com a condição inicial dada.
Passo 9
Grafico e comentários sobre a evolução temporal (parte (a)) — como desenhar o gráfico e o que observar:
- Fórmula final (repetindo) é
- Pontos e comportamento importantes para esboçar o gráfico:
- Valor inicial:
. - Limite quando
: como ambas as exponenciais decaem para zero, . - Derivada (para entender monotonicidade):
Em : , ou seja, inicialmente decresce.
Podemos reescrever. Para , , então . Portanto para todo : a função é estritamente decrescente em . - Sinal da função: resolver
dá . Como a raiz está em tempo negativo, para todo temos . Logo a função é positiva e decrescente para . - Comportamento assintótico: o termo
decai mais rápido que . Assim, para grande, . Ou seja, o decaimento assintótico é dominado pela taxa (menos íngreme).
- Valor inicial:
- Esboço do gráfico (instrução para desenhar): desenhe o eixo
horizontal com , eixo vertical . Marque . A curva sai de e desce suavemente, permanecendo positiva e tendendo a . A curva é ligeiramente mais “rápida” no começo (devido ao termo que tem decaimento mais rápido) e depois segue aproximadamente a exponencial .
Se quiser valores numéricos rápidos:(pode calcular se precisar), mas não é necessário para o esboço qualitativo.
Passo 10
Interpretação física/matemática do comportamento (parte (b)):
- A solução é soma da resposta particular (forçada)
e da solução complementar (transiente) com . Em termos de interpretação: - O termo
é o transiente gerado pela condição inicial; ele decai rapidamente com constante de tempo . - O termo
é a resposta particular criada pela força ; esse termo decai mais lentamente, com constante de tempo .
- O termo
- Como o transiente decai mais rápido (taxa
) que a resposta forçada (taxa ), após um curto tempo o comportamento da solução é dominado pela resposta particular . - Em linguagem física: é como um sistema linear com amortecimento natural (taxa
) sendo “forçado” por uma entrada que também decai exponencialmente (taxa ). No início a solução reflete a combinação dos dois efeitos, mas o componente mais rápido some logo, deixando o componente que decai mais devagar como dominante. - Em termos de estabilidade: a solução tende a zero quando
, então o sistema é assintoticamente estável (todas as componentes exponenciais têm expoentes negativos).
Passo 11
Resumo para a prova (como aplicar o método rapidamente em exame):
- Tomar
da EDO, usar . - Substituir o transformado do termo forçante (aqui
). - Isolar
. - Fazer frações parciais se necessário e inverter termo a termo usando
. - Verificar a condição inicial rapidamente.
Dica prática: ao ver exponenciaisno lado direito, geralmente a solução particular será uma exponencial do mesmo tipo, e o complemento é uma exponencial com a taxa igual ao coeficiente do termo homogêneo — isso ajuda a prever formas e checar resultados.