Mostre formalmente que a energia mecânica do oscilador harmônico simples é conservada.
Considere a solução:
x(t)=A \cos \left(\omega_{0} t-\varphi\right)
e utilize as seguintes expressões:
  • Energia cinética: K(t)=\frac{1}{2} m v^{2}(t), \operatorname{com} v(t)= \frac{d x(t)}{d t};
  • Energia potencial: U(t)=-\int \vec{F} \cdot d \vec{r}, sendo \vec{F}=-k x(t).
Mostre que a energia total E=K(t)+U(t) é constante ao longo do tempo.

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que a energia total E(t)=K(t)+U(t) do oscilador harmônico simples é constante no tempo, usando a solução
x(t)=A\cos\big(\omega_{0}t-\varphi\big)
e as expressões dadas para K(t) e U(t).
Informações fornecidas:
K(t)=\frac{1}{2}m\,v^{2}(t),\quad v(t)=\frac{d x(t)}{d t},
U(t)=-\int \vec{F}\cdot d\vec{r},\quad \vec{F}=-k\,x(t).
Objetivo concreto a partir dessas informações: calcular v(t), K(t), U(t) substituindo x(t) e provar que E(t) não depende de t (isto é, é constante).

Passo 2

Calcular a velocidade v(t)=\dfrac{dx}{dt} a partir de x(t)=A\cos(\omega_{0}t-\varphi).
Regra usada: derivada da função composta. Se \theta(t)=\omega_{0}t-\varphi, então \dfrac{d}{dt}\cos\theta(t)=-\sin\theta(t)\cdot \theta'(t). Aqui \theta'(t)=\omega_{0}.
Aplicando:
v(t)=\frac{d}{dt}\Big[A\cos\big(\omega_{0}t-\varphi\big)\Big] = -A\,\omega_{0}\sin\big(\omega_{0}t-\varphi\big).

Passo 3

Escrever a energia cinética K(t) substituindo v(t).
Temos
K(t)=\frac{1}{2}m\,v^{2}(t) =\frac{1}{2}m\big(-A\omega_{0}\sin(\omega_{0}t-\varphi)\big)^{2}.
Como o quadrado elimina o sinal negativo,
K(t)=\frac{1}{2}mA^{2}\omega_{0}^{2}\sin^{2}\big(\omega_{0}t-\varphi\big).

Passo 4

Calcular a energia potencial U(t) a partir de U=-\int \vec{F}\cdot d\vec{r} com \vec{F}=-k x(t) (problema unidimensional).
Em 1D, d\vec{r}=dx e \vec{F}\cdot d\vec{r}=F(x)\,dx. Assim
U(x)=-\int F(x)\,dx=-\int(-k x)\,dx=\int k x\,dx=\frac{1}{2}k x^{2}+C,
onde C é uma constante arbitrária de referência de energia potencial (podemos escolher C=0 para fixar a referência).
Substituindo x=x(t)=A\cos(\omega_{0}t-\varphi) e escolhendo C=0,
U(t)=\frac{1}{2}kA^{2}\cos^{2}\big(\omega_{0}t-\varphi\big).

Passo 5

Relacionar k e \omega_{0}. Justificativa: para o oscilador harmônico simples a equação de movimento é
m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-k x.
Calculando a segunda derivada de x(t):
\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=\frac{d}{dt}\big(-A\omega_{0}\sin(\omega_{0}t-\varphi)\big) =-A\omega_{0}^{2}\cos(\omega_{0}t-\varphi)=-\omega_{0}^{2}x(t).
Substituindo na equação de movimento dá
m(-\omega_{0}^{2}x)=-k x\quad\Rightarrow\quad k=m\omega_{0}^{2}.
Portanto podemos escrever U(t) também como
U(t)=\frac{1}{2}m\omega_{0}^{2}A^{2}\cos^{2}\big(\omega_{0}t-\varphi\big).

Passo 6

Somar K(t) e U(t) para obter E(t).
Usando as expressões obtidas:
E(t)=K(t)+U(t) =\frac{1}{2}mA^{2}\omega_{0}^{2}\sin^{2}\big(\omega_{0}t-\varphi\big) +\frac{1}{2}mA^{2}\omega_{0}^{2}\cos^{2}\big(\omega_{0}t-\varphi\big).
Fatorando \dfrac{1}{2}mA^{2}\omega_{0}^{2},
E(t)=\frac{1}{2}mA^{2}\omega_{0}^{2}\Big[\sin^{2}\big(\omega_{0}t-\varphi\big) +\cos^{2}\big(\omega_{0}t-\varphi\big)\Big].
Usando a identidade trigonométrica \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1,
E(t)=\frac{1}{2}mA^{2}\omega_{0}^{2}\cdot 1 =\frac{1}{2}m\omega_{0}^{2}A^{2}.
Isso não depende de t: a energia total é constante.

Passo 7

Checagem alternativa (opcional, curta) mostrando que \dfrac{dE}{dt}=0.
Começando de K=\tfrac{1}{2}mv^{2} e U=\tfrac{1}{2}k x^{2},
\frac{dK}{dt}=m v\frac{dv}{dt}=m v a, \qquad \frac{dU}{dt}=k x\frac{dx}{dt}=k x v.
Logo
\frac{dE}{dt}=\frac{dK}{dt}+\frac{dU}{dt}=v\big(m a + k x\big).
Mas a equação de movimento dá m a=-k x, então m a + k x=0 e assim \dfrac{dE}{dt}=0. Portanto E é constante no tempo, como mostrado acima.

Resposta

E=\frac{1}{2}m\omega_{0}^{2}A^{2}=\frac{1}{2}kA^{2}.

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