Mostre formalmente que a energia mecânica do oscilador harmônico simples é conservada.
Considere a solução:
e utilize as seguintes expressões:
- Energia cinética:
;
- Energia potencial:
, sendo
.
Mostre que a energia total
é constante ao longo do tempo.
Considere a solução:
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que a energia total
do oscilador harmônico simples é constante no tempo, usando a solução
e as expressões dadas para
e
.
Informações fornecidas:
Objetivo concreto a partir dessas informações: calcular
,
,
substituindo
e provar que
não depende de
(isto é, é constante).
Passo 2
Calcular a velocidade
a partir de
.
Regra usada: derivada da função composta. Se
, então
. Aqui
.
Aplicando:
Passo 3
Escrever a energia cinética
substituindo
.
Temos
Como o quadrado elimina o sinal negativo,
Passo 4
Calcular a energia potencial
a partir de
com
(problema unidimensional).
Em 1D,
e
. Assim
onde
é uma constante arbitrária de referência de energia potencial (podemos escolher
para fixar a referência).
Substituindo
e escolhendo
,
Passo 5
Relacionar
e
. Justificativa: para o oscilador harmônico simples a equação de movimento é
Calculando a segunda derivada de
:
Substituindo na equação de movimento dá
Portanto podemos escrever
também como
Passo 6
Somar
e
para obter
.
Usando as expressões obtidas:
Fatorando
,
Usando a identidade trigonométrica
,
Isso não depende de
: a energia total é constante.
Passo 7
Checagem alternativa (opcional, curta) mostrando que
.
Começando de
e
,
Logo
Mas a equação de movimento dá
, então
e assim
. Portanto
é constante no tempo, como mostrado acima.