Considere o circuito R L, cuja equação diferencial é dada por:
L \frac{d i(t)}{d t}+R i(t)=V_{0}
Obtenha e interprete a solução para o caso em que i(0)=0 e o circuito é conectado a uma fonte de tensão contínua V_{0}.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial do circuito R L:
L \frac{d i(t)}{d t}+R i(t)=V_{0}
e a condição inicial i(0)=0. O circuito é ligado a uma fonte contínua de tensão V_{0} no instante inicial (interpreto isso como a fonte aplicada em t=0). Dados relevantes listados explicitamente:
Uma forma simples e direta de resolver é separar a solução em duas partes: a solução da equação homogênea (transiente) e uma solução particular (regime permanente). Essa técnica funciona sempre que temos uma equação linear com termos constantes — eu explico cada passo com calma para você conseguir repetir na prova.
Passo 3
Resolver a equação homogênea associada (onde a fonte é zero):
\frac{d i_{h}}{d t} + \frac{R}{L}\,i_{h} = 0.
Isto é uma equação separável; escrevendo e integrando,
onde escrevi C=\pm e^{C_1}. Essa é a parte que decai exponencialmente — por isso chamamos de transiente.
Passo 4
Encontrar uma solução particular i_{p}(t) da equação completa. Como o lado direito é constante \frac{V_{0}}{L}, é natural tentar i_{p}= constante. Suponha
i_{p} = I_{p}\quad\text{(constante)}.
Substituindo na equação original:
L\cdot 0 + R I_{p} = V_{0}\quad\Rightarrow\quad I_{p}=\frac{V_{0}}{R}.
Portanto a solução particular (regime permanente) é a corrente constante \frac{V_{0}}{R}.
Passo 5
A solução geral é soma do transiente com a particular:
Isto mostra que no instante inicial a corrente começa a crescer com taxa \frac{V_{0}}{L} — intuitivamente, o indutor impede variação instantânea de corrente, então ela parte de zero com inclinação finita.
Regime permanente (t\to\infty):
\lim_{t\to\infty}i(t)=\frac{V_{0}}{R}.
Fisicamente: após o transiente o indutor se comporta como um curto-circuito em CC (tensão no indutor vai a zero) e toda a tensão V_{0} cai no resistor, gerando corrente V_{0}/R.
Tensão no indutor. A tensão do indutor é v_{L}(t)=L\,\frac{d i}{d t}. Calculando com a solução:
Escalas de tempo úteis para provas: após t=\tau a corrente atinge 1-e^{-1}\approx 0{,}632 (63,2%) do valor final; após t\approx 5\tau já está praticamente em regime permanente (mais de 99%).
Passo 7
Interpretação física resumida e dicas para prova (levando em conta que você pode ficar nervoso):
O termo \frac{V_{0}}{R} é o valor final da corrente em regime permanente (quando o indutor age como curto).
O termo exponencial \exp(-t/\tau) representa o transiente: começa em 1 e decai para 0 com constante de tempo \tau=L/R.
O indutor evita mudança instantânea de corrente, por isso i(0)=0 mesmo com a fonte aplicada; a tensão inicial em L é V_{0} e decai exponencialmente.
Na prova: basta identificar que é uma ODE linear de 1ª ordem, achar solução particular constante V_{0}/R, solução homogênea exponencial e aplicar condição inicial — segue a receita e dá certo.
Interpretação: corrente parte de 0, cresce exponencialmente com constante de tempo \tau e tende ao regime permanente i(\infty)=V_{0}/R; a tensão no indutor é v_{L}(t)=V_{0}e^{-t/\tau} e a energia final armazenada é W(\infty)=\tfrac{1}{2}L(V_{0}/R)^{2}.