Considere o circuito R L, cuja equação diferencial é dada por:
L \frac{d i(t)}{d t}+R i(t)=V_{0}
Obtenha e interprete a solução para o caso em que i(0)=0 e o circuito é conectado a uma fonte de tensão contínua V_{0}.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial do circuito R L:
L \frac{d i(t)}{d t}+R i(t)=V_{0}
e a condição inicial i(0)=0. O circuito é ligado a uma fonte contínua de tensão V_{0} no instante inicial (interpreto isso como a fonte aplicada em t=0). Dados relevantes listados explicitamente:
L,\; R,\; V_{0}\quad\text{(constantes positivas presumidas)},\qquad i(0)=0.
O que se pede: obter a solução i(t) para t\ge 0 e interpretá‑la fisicamente (comportamento transiente e regime permanente).

Passo 2

Vamos escolher uma técnica para resolver a equação. A equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem com coeficientes constantes:
\frac{d i}{d t} + \frac{R}{L}\,i = \frac{V_{0}}{L}.
Uma forma simples e direta de resolver é separar a solução em duas partes: a solução da equação homogênea (transiente) e uma solução particular (regime permanente). Essa técnica funciona sempre que temos uma equação linear com termos constantes — eu explico cada passo com calma para você conseguir repetir na prova.

Passo 3

Resolver a equação homogênea associada (onde a fonte é zero):
\frac{d i_{h}}{d t} + \frac{R}{L}\,i_{h} = 0.
Isto é uma equação separável; escrevendo e integrando,
\frac{1}{i_{h}}\,\frac{d i_{h}}{d t} = -\frac{R}{L}.
Integrando em t:
\ln|i_{h}| = -\frac{R}{L}t + C_1,
onde C_1 é constante. Exponenciando,
i_{h}(t) = C\,e^{-\frac{R}{L}t},
onde escrevi C=\pm e^{C_1}. Essa é a parte que decai exponencialmente — por isso chamamos de transiente.

Passo 4

Encontrar uma solução particular i_{p}(t) da equação completa. Como o lado direito é constante \frac{V_{0}}{L}, é natural tentar i_{p}= constante. Suponha
i_{p} = I_{p}\quad\text{(constante)}.
Substituindo na equação original:
L\cdot 0 + R I_{p} = V_{0}\quad\Rightarrow\quad I_{p}=\frac{V_{0}}{R}.
Portanto a solução particular (regime permanente) é a corrente constante \frac{V_{0}}{R}.

Passo 5

A solução geral é soma do transiente com a particular:
i(t)=i_{p}(t)+i_{h}(t)=\frac{V_{0}}{R}+C\,e^{-\frac{R}{L}t}.
Aplicamos a condição inicial i(0)=0:
0=\frac{V_{0}}{R}+C\cdot e^{0} \quad\Rightarrow\quad C=-\frac{V_{0}}{R}.
Substituindo C obtemos
i(t)=\frac{V_{0}}{R}\Big(1-e^{-\frac{R}{L}t}\Big).
É prático definir a constante de tempo do circuito:
\tau=\frac{L}{R}.
Com isso a solução fica na forma mais reconhecível:
i(t)=\frac{V_{0}}{R}\Big(1-e^{-t/\tau}\Big).

Passo 6

Vamos analisar propriedades importantes dessa solução (coisa que costumam pedir em prova e que ajuda a interpretar o circuito):
  1. Valor inicial e derivada inicial. Substituindo t=0:
i(0)=\frac{V_{0}}{R}\big(1-1\big)=0,
compatível com a condição dada. A derivada inicial é
\left.\frac{d i}{d t}\right|_{t=0} = \frac{V_{0}}{R}\cdot\frac{1}{\tau} = \frac{V_{0}}{L}.
Isto mostra que no instante inicial a corrente começa a crescer com taxa \frac{V_{0}}{L} — intuitivamente, o indutor impede variação instantânea de corrente, então ela parte de zero com inclinação finita.
  1. Regime permanente ( t\to\infty):
\lim_{t\to\infty}i(t)=\frac{V_{0}}{R}.
Fisicamente: após o transiente o indutor se comporta como um curto-circuito em CC (tensão no indutor vai a zero) e toda a tensão V_{0} cai no resistor, gerando corrente V_{0}/R.
  1. Tensão no indutor. A tensão do indutor é v_{L}(t)=L\,\frac{d i}{d t}. Calculando com a solução:
v_{L}(t)=L\cdot\frac{V_{0}}{R}\cdot\frac{1}{\tau} e^{-t/\tau} = V_{0}\,e^{-t/\tau}.
Observação: peguei essa relação usando a forma \tau=L/R. No instante t=0 temos v_{L}(0)=V_{0} e v_{L}\to 0 conforme t\to\infty.
  1. Energia acumulada no indutor. Energia magnética instantânea:
W(t)=\frac{1}{2}L\,i^{2}(t).
No regime permanente:
W(\infty)=\frac{1}{2}L\left(\frac{V_{0}}{R}\right)^{2}.
  1. Escalas de tempo úteis para provas: após t=\tau a corrente atinge 1-e^{-1}\approx 0{,}632 (63,2%) do valor final; após t\approx 5\tau já está praticamente em regime permanente (mais de 99%).

Passo 7

Interpretação física resumida e dicas para prova (levando em conta que você pode ficar nervoso):
  • O termo \frac{V_{0}}{R} é o valor final da corrente em regime permanente (quando o indutor age como curto).
  • O termo exponencial \exp(-t/\tau) representa o transiente: começa em 1 e decai para 0 com constante de tempo \tau=L/R.
  • O indutor evita mudança instantânea de corrente, por isso i(0)=0 mesmo com a fonte aplicada; a tensão inicial em L é V_{0} e decai exponencialmente.
  • Na prova: basta identificar que é uma ODE linear de 1ª ordem, achar solução particular constante V_{0}/R, solução homogênea exponencial e aplicar condição inicial — segue a receita e dá certo.

Resposta

i(t)=\frac{V_{0}}{R}\Big(1-e^{-tR/L}\Big)=\frac{V_{0}}{R}\Big(1-e^{-t/\tau}\Big),\quad \tau=\frac{L}{R}.
Interpretação: corrente parte de 0, cresce exponencialmente com constante de tempo \tau e tende ao regime permanente i(\infty)=V_{0}/R; a tensão no indutor é v_{L}(t)=V_{0}e^{-t/\tau} e a energia final armazenada é W(\infty)=\tfrac{1}{2}L(V_{0}/R)^{2}.

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