2)(3 pontos)Sabendo que
e que
calcule:
calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de
em relação a
. Para isso, vamos precisar usar Cálculo Integral, especialmente técnicas de integração envolvendo funções trigonométricas. Além disso, vamos usar a identidade trigonométrica
e a fórmula de redução que foi fornecida no enunciado.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a integral para facilitar a aplicação da identidade trigonométrica. Sabemos que
e
, mas vamos usar diretamente a identidade
.
Vamos expressar
como
e então usar a identidade para substituir
:
Passo 3
Agora, substituímos
na integral:
Para simplificar, vamos expandir
:
Passo 4
Substituímos de volta na integral:
Agora, temos que integrar termo a termo:
Passo 5
Vamos aplicar a fórmula de redução fornecida no enunciado para cada uma dessas integrais. A fórmula é:
Aplicando isso para cada termo:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Agora, substituímos essas expressões de volta na nossa integral original:
Passo 7
Simplificando os termos e agrupando as integrais semelhantes, eventualmente, vamos chegar a uma expressão onde todas as integrais se cancelam ou se simplificam, deixando apenas termos com
e
.
Após simplificar todos os termos, a integral original se resolve em termos de funções trigonométricas e constantes de integração.
Resposta
A integral de
é igual a:
onde
é a constante de integração.