Resolva a seguinte equação exponencial 2^{x+1}+2^{x}+5=101

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação exponencial
2^{x+1}+2^{x}+5=101.
Informações dadas:
  • A incógnita é x.
  • A equação envolve potências de base 2.
  • Não há restrições adicionais sobre x no enunciado (pode ser qualquer número real que satisfaça a igualdade).

Passo 2

Entender uma propriedade básica de potências que vamos usar: para qualquer expoente a e base 2,
2^{a+1}=2\cdot 2^{a}.
Isto vem da regra b^{m+n}=b^{m}\cdot b^{n}. Aqui usamos m=a e n=1, com b=2.

Passo 3

Aplicando essa propriedade à nossa equação, reescrevemos 2^{x+1} como 2\cdot2^{x}. Assim a equação fica
2\cdot 2^{x}+2^{x}+5=101.

Passo 4

Agora fatoramos 2^{x} no lado esquerdo, porque ele aparece em dois termos:
(2+1)\cdot 2^{x}+5=101.
Ou seja,
3\cdot 2^{x}+5=101.

Passo 5

Isolamos 2^{x}. Subtraindo 5 de ambos os lados e dividindo por 3:
3\cdot 2^{x}=96,
2^{x}=32.

Passo 6

Para encontrar x quando 2^{x}=32 há duas formas simples:
  • Reconhecer que 32=2^{5}, logo 2^{x}=2^{5} implica x=5.
  • Ou usar logaritmo: x=\log_{2}32. Como \log_{2}32=\dfrac{\ln 32}{\ln 2}=\dfrac{5\ln 2}{\ln 2}=5.
Ambas dão x=5.

Passo 7

Sempre bom checar substituindo de volta na equação original:
2^{5+1}+2^{5}+5=2^{6}+32+5=64+32+5=101,
o que confirma que x=5 é solução correta.

Resposta

x=5

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