do passo 8, a decomposição deu duas partes: -\dfrac{1}{13}\cos t+\dfrac{5}{13}\sin t e \dfrac{1}{13}e^{-\tfrac{3}{2}t}\cos(bt)-\dfrac{7}{13\sqrt{3}}e^{-\tfrac{3}{2}t}\sin(bt).
Somando as partes exponenciais (mesmo fator e^{-\tfrac{3}{2}t}) combinamos os coeficientes de \cos(bt) e \sin(bt):
\text{coeficiente de }\cos(bt):\;1+\frac{1}{13}=\frac{14}{13},
\text{coeficiente de }\sin(bt):\;-\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{7}{13\sqrt{3}}=-\frac{20}{13\sqrt{3}}.
concordando com y(0)=1. Bom sinal de que a solução está correta.
Resposta
y(t)=e^{-\tfrac{3}{2}t}\!\left(\frac{14}{13}\cos\!\Bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\Bigr)-\frac{20}{13\sqrt{3}}\sin\!\Bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\Bigr)\right)-\frac{1}{13}\cos t+\frac{5}{13}\sin t