O enunciado pede resolver o problema de valor inicial usando a Transformada de Laplace, isto é, encontrar y(t) para t\ge0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
As condições iniciais em t=0 são y(0)=1 e y'(0)=0.
A função f(t) é zero para t\ge2, então é conveniente representá-la usando a função degrau unitário u(t-2) para aplicar a propriedade de deslocamento na transformada de Laplace.
Vamos aplicar: transformada de Laplace das derivadas, linearidade e o teorema do deslocamento (shifting) quando necessário.]
Passo 2
Representação de f(t) com degrau e cálculo de F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}.
Substituindo h(t-2) e simplificando os termos não deslocados com os deslocados (fazer a álgebra mostra cancelamentos nas partes lineares e constantes), resulta uma forma prática e contínua, escrita peça a peça:
(As somas e cancelamentos foram feitos explicitamente: os termos lineares e as constantes se cancelam ao subtrair h(t-2), restando apenas as combinações trigonométricas mostradas.)]
Passo 9
Verificações rápidas e comentário final:
Em t=0: y(0)=\cos 0 +0 -0 =1 (confere y(0)=1).
Derivando a expressão para t pequeno verifica-se y'(0)=0 (os termos lineares e trigonométricos dão soma zero em t=0), então a condição y'(0)=0 também é satisfeita.
A solução é contínua em t=2; a segunda derivada terá salto compatível com a descontinuidade de f(t) (isso é esperado).