Represente a função abaixo como soma de uma série de potência e determine o intervalo de convergência
f(x)=\frac{x}{1+x-2 x^{2}}
f(x)=\frac{x}{1+x-2 x^{2}}
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede duas coisas:
- Representar
como uma série de potência (uma soma ) centrada em . - Determinar o intervalo (ou raio) de convergência dessa série.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Numerador:
. - Denominador:
. - Procuramos uma série em torno de
(Maclaurin), válida numa certa faixa de .
Passo 2
Primeiro passo prático: fatorar o denominador e decompor em frações parciais — isso facilita usar séries geométricas.
Fatorando o denominador:
Agora fazemos decomposição em frações parciais: queremos
Multiplicando ambos os lados por
obtém-se a identidade polinomial
Desenvolvendo:
Igualando coeficientes (constante e do termo em
):
Da primeira equação
. Assim temos a decomposição
Passo 3
Agora vamos expandir cada fração como série geométrica. Lembrete da série geométrica: para qualquer número
com
,
Aqui cada variável e condição significa:
-
é a razão da progressão geométrica; - a igualdade vale somente quando
(isso determina a condição de convergência).
Aplicando isso às duas frações:
- Para
usamos . Logo, para ,
- Para
escrevemos e usamos . A expansão vale quando , isto é :
Multiplicando cada série pelos coeficientes obtidos na decomposição:
Recordando o sinal negativo da segunda fração, obtemos
Passo 4
Unificamos as duas somas em uma só série de potência, somando termo a termo (válido enquanto ambas séries individuais convergirem):
Portanto os coeficientes da série são
Para entender melhor, vejamos os primeiros termos (exemplo):
então a série começa
o que bate com a expressão geral acima e com a forma racional original.
Passo 5
Determinar o intervalo de convergência: cada série geométrica usada tem sua própria condição:
-
converge para . -
converge para , isto é .
A série formada por diferença converge na interseção dessas regiões, portanto para
Assim o raio de convergência é
e o intervalo de convergência é
.
Passo 6
Verificação nos extremos (importante em provas):
- Em
: o segundo somatório tem termo geral , cuja série não converge (os termos não tendem a zero). Logo divergência em . - Em
: o segundo somatório tem termo geral , ou seja também não tende a zero; diverge. Portanto os extremos não são incluídos.
Concluímos que a série converge somente para
.
Passo 7
Resumo final (forma útil para decorar e usar na prova):