Represente a função abaixo como soma de uma série de potência e determine o intervalo de convergência
f(x)=\frac{x}{1+x-2 x^{2}}

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x)=\frac{x}{1+x-2x^{2}}
e pede duas coisas:
  • Representar f(x) como uma série de potência (uma soma \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n) centrada em 0.
  • Determinar o intervalo (ou raio) de convergência dessa série.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Numerador: x.
  • Denominador: 1+x-2x^{2}.
  • Procuramos uma série em torno de 0 (Maclaurin), válida numa certa faixa de x.

Passo 2

Primeiro passo prático: fatorar o denominador e decompor em frações parciais — isso facilita usar séries geométricas.
Fatorando o denominador:
1+x-2x^{2}=(1-x)(1+2x).
Agora fazemos decomposição em frações parciais: queremos A,B\) tais que \[\frac{x}{(1-x)(1+2x)}=\frac{A}{1-x}+\frac{B}{1+2x}.
Multiplicando ambos os lados por (1-x)(1+2x) obtém-se a identidade polinomial
x = A(1+2x)+B(1-x).
Desenvolvendo:
x = (A+B) + (2A-B)\,x.
Igualando coeficientes (constante e do termo em x):
\begin{cases} A+B=0,\\[4pt] 2A-B=1. \end{cases}
Da primeira equação B=-A\]. Substituindo na segunda: \[2A-(-A)=3A=1 \quad\Rightarrow\quad A=\frac{1}{3}.\] Então \(B=-\dfrac{1}{3}. Assim temos a decomposição
\frac{x}{1+x-2x^{2}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1-x}-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1+2x}.]

Passo 3

Agora vamos expandir cada fração como série geométrica. Lembrete da série geométrica: para qualquer número r com |r|<1,
\frac{1}{1-r}=\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}.
Aqui cada variável e condição significa:
  • r é a razão da progressão geométrica;
  • a igualdade vale somente quando |r|<1 (isso determina a condição de convergência).
Aplicando isso às duas frações:
  1. Para \dfrac{1}{1-x} usamos r=x. Logo, para |x|<1,
\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}.
  1. Para \dfrac{1}{1+2x} escrevemos \dfrac{1}{1+2x}=\dfrac{1}{1-(-2x)} e usamos r=-2x. A expansão vale quando |-2x|<1, isto é |x|<\tfrac{1}{2}:
\frac{1}{1+2x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-2x)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-2)^{n}x^{n}.
Multiplicando cada série pelos coeficientes obtidos na decomposição:
\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1-x}=\frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty}x^{n},\qquad \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1+2x}=\frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty}(-2)^{n}x^{n}.
Recordando o sinal negativo da segunda fração, obtemos
f(x)=\frac{x}{1+x-2x^{2}}=\frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}-\frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty}(-2)^{n}x^{n}.

Passo 4

Unificamos as duas somas em uma só série de potência, somando termo a termo (válido enquanto ambas séries individuais convergirem):
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{3}(-2)^{n}\right)x^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1-(-2)^{n}}{3}\,x^{n}.
Portanto os coeficientes da série são
a_n=\frac{1-(-2)^{n}}{3}\quad\text{para }n\ge 0.
Para entender melhor, vejamos os primeiros termos (exemplo):
\begin{aligned} n=0&:\\ a_0=\frac{1-1}{3}=0,\\\ n=1&:\\ a_1=\frac{1-(-2)}{3}=\frac{3}{3}=1,\\\ n=2&:\\ a_2=\frac{1-4}{3}=-1,\\\ n=3&:\\ a_3=\frac{1-(-8)}{3}=\frac{9}{3}=3, \end{aligned}
então a série começa
f(x)=1\cdot x-1\cdot x^{2}+3\cdot x^{3}+\cdots,
o que bate com a expressão geral acima e com a forma racional original.

Passo 5

Determinar o intervalo de convergência: cada série geométrica usada tem sua própria condição:
  • \dfrac{1}{1-x}=\sum x^{n} converge para |x|<1.
  • \dfrac{1}{1+2x}=\sum (-2)^{n}x^{n} converge para |-2x|<1, isto é |x|<\tfrac{1}{2}.
A série formada por diferença converge na interseção dessas regiões, portanto para
|x|<\frac{1}{2}.
Assim o raio de convergência é R=\dfrac{1}{2} e o intervalo de convergência é \left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right).

Passo 6

Verificação nos extremos (importante em provas):
  • Em x=\tfrac{1}{2}: o segundo somatório tem termo geral (-2)^{n}(\tfrac{1}{2})^{n}=(-1)^{n}, cuja série \sum (-1)^{n} não converge (os termos não tendem a zero). Logo divergência em x=\tfrac{1}{2}.
  • Em x=-\tfrac{1}{2}: o segundo somatório tem termo geral (-2)^{n}(-\tfrac{1}{2})^{n}=1^{n}=1, ou seja também não tende a zero; diverge. Portanto os extremos não são incluídos.
Concluímos que a série converge somente para |x|<\tfrac{1}{2}.

Passo 7

Resumo final (forma útil para decorar e usar na prova):
\boxed{\,\displaystyle f(x)=\frac{x}{1+x-2x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1-(-2)^{n}}{3}\,x^{n},\quad\text{válido para }|x|<\tfrac{1}{2}. \,}á

Resposta

\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1-(-2)^{n}}{3}\,x^{n} para |x|<\tfrac{1}{2}
\displaystyle

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