Resolva as seguinte equações diferenciais:( 4.0 pontos)
x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}-4 y=0 \quad Considere as condições iniciais: \quad y(1)=2 \quad y^{\prime}(2)=4

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial e as condições iniciais. Vou listar claramente o que foi pedido e os dados fornecidos:
  • Equação diferencial: x^{2}y''+x y'-4y=0.
  • Condições: y(1)=2,\qquad y'(2)=4.
O objetivo é encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação diferencial e as duas condições dadas.

Passo 2

Identificar a forma da equação e a estratégia: a equação tem coeficientes que são potências de x multiplicando y'',y' e y (especificamente x^{2},x e termo independente). Equações nessa forma costumam ser do tipo “euler–cauchy” (também chamadas equações de coeficientes variáveis proporcionais a potências de x). Para esse tipo, uma técnica padrão é tentar uma solução do tipo y=x^{r} (uma potência de x). Vou explicar por que isso faz sentido: ao substituir y=x^{r} as derivadas produzem fatores de r e potências de x que se alinham com os coeficientes x^{2} e x, transformando a equação diferencial numa equação algébrica para r. Isso simplifica muito.

Passo 3

Assumir y=x^{r} e calcular as derivadas (explicando cada passo):
  • Se y=x^{r} então
y' = r x^{r-1}, \qquad y'' = r(r-1) x^{r-2}.
Essas fórmulas vêm da regra de potência: derivada de x^{r} é r x^{r-1}, e derivando novamente obtém-se r(r-1) x^{r-2}.

Passo 4

Substituir y,y',y'' na equação original e obter a equação característica em r. Substituindo:
x^{2}\big(r(r-1)x^{r-2}\big) + x\big(r x^{r-1}\big) -4 x^{r} =0.
Fatorando x^{r} (que é não nulo para x\neq0) temos:
x^{r}\big(r(r-1) + r -4\big)=0.
Logo a parte algébrica deve ser zero:
r(r-1)+r-4=0.
Simplificando:
r^{2}-4=0.

Passo 5

Resolver a equação característica:
r^{2}-4=0 \quad\Rightarrow\quad r^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad r=\pm 2.
Como são duas raízes reais distintas r_{1}=2 e r_{2}=-2, a solução geral da equação de Euler–Cauchy é a combinação linear das potências correspondentes:
y(x)=C_{1}x^{2}+C_{2}x^{-2},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. (Isso é consequência da linearidade da equação: x^{2} e x^{-2} são soluções independentes.)

Passo 6

Preparar as expressões necessárias para aplicar as condições iniciais: calcular y'(x) da solução geral (detalhando cada termo).
A partir de y(x)=C_{1}x^{2}+C_{2}x^{-2} temos
y'(x)=2C_{1}x -2C_{2}x^{-3}.
Detalhe do cálculo: derivada de C_{1}x^{2} é 2C_{1}x; derivada de C_{2}x^{-2} é C_{2}\cdot(-2)x^{-3}=-2C_{2}x^{-3}.

Passo 7

Aplicar as condições iniciais para obter um sistema para C_{1},C_{2}.
Primeira condição \,y(1)=2: substituir x=1 em y(x)=C_{1}x^{2}+C_{2}x^{-2}:
C_{1}\cdot 1^{2} + C_{2}\cdot 1^{-2} = 2 \quad\Rightarrow\quad C_{1}+C_{2}=2.
Segunda condição \,y'(2)=4: usar y'(x)=2C_{1}x-2C_{2}x^{-3} e substituir x=2:
y'(2)=2C_{1}\cdot 2 -2C_{2}\cdot 2^{-3} =4C_{1} -2C_{2}\cdot\frac{1}{8}=4C_{1}-\frac{1}{4}C_{2}.
Impondo y'(2)=4 obtemos
4C_{1}-\frac{1}{4}C_{2}=4.

Passo 8

Resolver o sistema linear em C_{1},C_{2}\): O sistema é \[\begin{cases} C_{1}+C_{2}=2,\\[4pt] 4C_{1}-\dfrac{1}{4}C_{2}=4. \end{cases}
Multiplicando a segunda equação por 4\] para eliminar frações: \[16C_{1}-C_{2}=16.\] Agora somar as equações (ou substituir). Usando \(C_{2}=2-C_{1} da primeira equação e substituindo na última:
16C_{1}-(2-C_{1})=16 \quad\Rightarrow\quad 16C_{1}-2+C_{1}=16 \quad\Rightarrow\quad 17C_{1}=18.
Logo
C_{1}=\dfrac{18}{17}.
E então
C_{2}=2-C_{1}=2-\dfrac{18}{17}=\dfrac{34-18}{17}=\dfrac{16}{17}.]

Resposta

y(x)=\dfrac{18}{17}\,x^{2}+\dfrac{16}{17}\,x^{-2}

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