Resolva as seguinte equações diferenciais:( 4.0 pontos)
Considere as condições iniciais:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial e as condições iniciais. Vou listar claramente o que foi pedido e os dados fornecidos:
- Equação diferencial:
- Condições:
O objetivo é encontrar a solução
que satisfaz a equação diferencial e as duas condições dadas.
Passo 2
Identificar a forma da equação e a estratégia: a equação tem coeficientes que são potências de
multiplicando
e
(especificamente
e termo independente). Equações nessa forma costumam ser do tipo “euler–cauchy” (também chamadas equações de coeficientes variáveis proporcionais a potências de
). Para esse tipo, uma técnica padrão é tentar uma solução do tipo
(uma potência de
). Vou explicar por que isso faz sentido: ao substituir
as derivadas produzem fatores de
e potências de
que se alinham com os coeficientes
e
, transformando a equação diferencial numa equação algébrica para
. Isso simplifica muito.
Passo 3
Assumir
e calcular as derivadas (explicando cada passo):
- Se
então
Essas fórmulas vêm da regra de potência: derivada de
é
, e derivando novamente obtém-se
.
Passo 4
Substituir
na equação original e obter a equação característica em
. Substituindo:
Fatorando
(que é não nulo para
) temos:
Logo a parte algébrica deve ser zero:
Simplificando:
Passo 5
Resolver a equação característica:
Como são duas raízes reais distintas
e
, a solução geral da equação de Euler–Cauchy é a combinação linear das potências correspondentes:
onde
e
são constantes arbitrárias. (Isso é consequência da linearidade da equação:
e
são soluções independentes.)
Passo 6
Preparar as expressões necessárias para aplicar as condições iniciais: calcular
da solução geral (detalhando cada termo).
A partir de temos
A partir de
Detalhe do cálculo: derivada de
é
; derivada de
é
.
Passo 7
Aplicar as condições iniciais para obter um sistema para
.
Primeira condição
: substituir
em
:
Segunda condição
: usar
e substituir
:
Impondo
obtemos
Passo 8
Resolver o sistema linear em
Multiplicando a segunda equação por
da primeira equação e substituindo na última:
Logo
E então