Resolva as seguinte equações diferenciais:( 4.0 pontos)
Considere as condições iniciais:
Passo 1
Vou escrever claramente o que o enunciado nos deu e o que pede.
- Equação diferencial dada:
- Condições iniciais:
- O que se pede: encontrar a solução
que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.
Passo 2
Escolher uma forma tentativa apropriada e justificar (aula rápida sobre a ideia usada).
Para equações do tipo
é comum tentar uma solução do tipo potência
porque potências de
transformam bem as derivadas com fator
e reduzem a EDO a uma equação algébrica para
. Vou aplicar essa ideia: suponha
Calcule as derivadas (explicando cada termo):
Substituo na EDO:
Passo 3
Simplificar a substituição para obter a equação característica (mostrando passo a passo):
então a EDO fica
Fatorando
(que para
não é zero), obtemos a equação algébrica
Agora desenvolvo:
Passo 4
Resolver a equação quadrática para
.
Aplicando fórmula de Bhaskara ou fatoração:
Podemos fatorar:
. Mas uso a fórmula:
Logo as raízes são
Como são duas raízes reais e distintas, a solução geral da EDO é combinação linear das potências correspondentes:
Passo 5
Calcular a derivada geral
(para usar a condição inicial em
) e aplicar as condições iniciais.
Derivando termo a termo:
Agora uso
nas duas expressões e pego os dados dados pelo enunciado.
De
:
De
:
Temos o sistema linear:
Passo 6
Resolver o sistema para
e
passo a passo.
Subtraio a segunda equação da primeira (ou elimino
). Fazendo (segunda) menos (primeira):
No lado esquerdo
. No direito
. Então
Substituo
em
:
Passo 7
Escrever a solução particular final com os valores encontrados e fazer uma observação rápida de formato.
Substituindo
e
na solução geral:
Também pode ser escrita como