Resolva as seguinte equações diferenciais:( 4.0 pontos)
x^{2} y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}-3 y=0 Considere as condições iniciais: y(1)=3 \quad y^{\prime}(1)=-5

Passo 1

Vou escrever claramente o que o enunciado nos deu e o que pede.
  • Equação diferencial dada: x^{2}y''+3x y'-3y=0.
  • Condições iniciais: y(1)=3,\qquad y'(1)=-5.
  • O que se pede: encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.

Passo 2

Escolher uma forma tentativa apropriada e justificar (aula rápida sobre a ideia usada).
Para equações do tipo x^{2}y''+ax y'+by=0 é comum tentar uma solução do tipo potência y=x^{r} porque potências de x transformam bem as derivadas com fator x e reduzem a EDO a uma equação algébrica para r. Vou aplicar essa ideia: suponha y=x^{r}.
Calcule as derivadas (explicando cada termo):
y=x^{r}\quad\Rightarrow\quad y' = r x^{r-1},\quad y'' = r(r-1)x^{r-2}.
Substituo na EDO:
x^{2}\big(r(r-1)x^{r-2}\big)+3x\big(r x^{r-1}\big)-3\big(x^{r}\big)=0.

Passo 3

Simplificar a substituição para obter a equação característica (mostrando passo a passo):
x^{2}\cdot r(r-1)x^{r-2} = r(r-1)x^{r},
3x\cdot r x^{r-1} = 3r x^{r},
então a EDO fica
r(r-1)x^{r}+3r x^{r}-3x^{r}=0.
Fatorando x^{r} (que para x\neq0 não é zero), obtemos a equação algébrica
r(r-1)+3r-3=0.
Agora desenvolvo:
r^{2}-r+3r-3 = r^{2}+2r-3 =0.

Passo 4

Resolver a equação quadrática para r.
Aplicando fórmula de Bhaskara ou fatoração:
r^{2}+2r-3=0.
Podemos fatorar: (r+?)(r+?). Mas uso a fórmula:
r = \frac{-2\pm\sqrt{2^{2}-4\cdot1\cdot(-3)}}{2} = \frac{-2\pm\sqrt{4+12}}{2} = \frac{-2\pm4}{2}.
Logo as raízes são
r_{1}= \frac{-2+4}{2}=1,\qquad r_{2}= \frac{-2-4}{2}=-3.
Como são duas raízes reais e distintas, a solução geral da EDO é combinação linear das potências correspondentes:
y(x)=C_{1}x^{r_{1}}+C_{2}x^{r_{2}} = C_{1}x + C_{2}x^{-3}.

Passo 5

Calcular a derivada geral y'(x) (para usar a condição inicial em y') e aplicar as condições iniciais.
Derivando termo a termo:
y'(x)=C_{1}\cdot 1\cdot x^{0}+C_{2}\cdot(-3)x^{-4}=C_{1}-3C_{2}x^{-4}.
Agora uso x=1 nas duas expressões e pego os dados dados pelo enunciado.
De y(1)=3:
C_{1}\cdot 1 + C_{2}\cdot 1^{-3} = C_{1}+C_{2}=3.
De y'(1)=-5:
C_{1}-3C_{2}\cdot 1^{-4}=C_{1}-3C_{2}=-5.
Temos o sistema linear:
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=3,\\[4pt] C_{1}-3C_{2}=-5. \end{cases}]

Passo 6

Resolver o sistema para C_{1} e C_{2} passo a passo.
Subtraio a segunda equação da primeira (ou elimino C_{1}). Fazendo (segunda) menos (primeira):
(C_{1}-3C_{2})-(C_{1}+C_{2}) = -5 - 3.
No lado esquerdo C_{1}-3C_{2}-C_{1}-C_{2} = -4C_{2}. No direito -8. Então
-4C_{2} = -8 \quad\Rightarrow\quad C_{2}=2.
Substituo C_{2}=2 em C_{1}+C_{2}=3:
C_{1}+2=3 \quad\Rightarrow\quad C_{1}=1.

Passo 7

Escrever a solução particular final com os valores encontrados e fazer uma observação rápida de formato.
Substituindo C_{1}=1 e C_{2}=2 na solução geral:
y(x)=1\cdot x + 2\cdot x^{-3} = x + 2x^{-3}.
Também pode ser escrita como y(x)=x+\frac{2}{x^{3}}.

Resposta

y(x)=x+\dfrac{2}{x^{3}}

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