Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas y = x^2 e y = 2x - x^2 em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado nos dá duas curvas e pede o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por elas em torno do eixo x. Informações e pedidos:
  • Curvas: y = x^2 e y = 2x - x^2.
  • Eixo de rotação: eixo x.
  • Pedido: determinar o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas duas curvas em torno do eixo x.
  • Precisamos também identificar o intervalo em x onde a região está delimitada (os pontos de interseção das curvas).

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção das curvas para saber o intervalo de integração. Igualamos as duas expressões de y:
x^2 = 2x - x^2.
Resolvendo:
x^2 + x^2 - 2x = 0 \quad\Rightarrow\quad 2x^2 - 2x = 0.
Fatorando:
2x(x-1)=0,
logo as soluções são x=0 e x=1. Portanto a região está no intervalo x\in[0,1].

Passo 3

Determinar qual curva está acima (maior y) e qual está abaixo no intervalo [0,1]. Compare as funções:
  • y_1(x)=x^2.
  • y_2(x)=2x-x^2.
Para um ponto interior ao intervalo, por exemplo x=\tfrac{1}{2}:
y_1\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^2=\tfrac{1}{4}, \qquad y_2\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=2\cdot\tfrac{1}{2}-\left(\tfrac{1}{2}\right)^2=1-\tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{4}.
Como y_2>y_1 em x=\tfrac{1}{2} e ambas se encontram apenas em 0 e 1, concluímos que em todo o intervalo 0\le x\le1 vale
\text{curva superior: }y_{\text{sup}}(x)=2x-x^2, \qquad \text{curva inferior: }y_{\text{inf}}(x)=x^2.

Passo 4

Apresentar o método para calcular o volume (explicação didática). Quando uma região plana entre duas curvas y= f_{\text{top}}(x) e y=f_{\text{bot}}(x) é girada em torno do eixo x, o volume pode ser obtido pelo método dos discos/aros (washers). A ideia:
  • Fixe um x e considere a seção transversal perpendicular ao eixo x: um anel (aro) com raio externo R(x)=f_{\text{top}}(x) e raio interno r(x)=f_{\text{bot}}(x) (assumindo f_{\text{top}},f_{\text{bot}}\ge0).
  • A área do aro é \pi\big(R(x)^2-r(x)^2\big).
  • Aproximando o sólido por finos cortes de espessura dx e somando, obtemos a integral
V=\pi\int_{a}^{b}\big(R(x)^2-r(x)^2\big)\,dx,
onde a e b são os limites em x (aqui a=0, b=1).
Observação: é importante que as funções que definem os raios sejam não negativas no intervalo; aqui ambas são não negativas em [0,1].

Passo 5

Aplicar a fórmula ao nosso caso. Tomamos
R(x)=2x-x^2,\qquad r(x)=x^2,\qquad x\in[0,1].
Assim
V=\pi\int_{0}^{1}\Big((2x-x^2)^2-(x^2)^2\Big)\,dx.

Passo 6

Simplificar o integrando antes de integrar. Primeiro expandir os quadrados:
(2x-x^2)^2 = 4x^2 - 4x^3 + x^4, \qquad (x^2)^2 = x^4.
Subtraindo:
(2x-x^2)^2-(x^2)^2 = (4x^2 - 4x^3 + x^4) - x^4 = 4x^2 - 4x^3.
Fatorando, se quiser:
4x^2-4x^3 = 4x^2(1-x).
Logo a integral fica
V=\pi\int_{0}^{1}\big(4x^2-4x^3\big)\,dx.

Passo 7

Calcular a integral passo a passo. Podemos separar os termos:
V=\pi\left(4\int_{0}^{1}x^2\,dx - 4\int_{0}^{1}x^3\,dx\right).
Calcule as primitivas:
\int x^2\,dx = \tfrac{1}{3}x^3,\qquad \int x^3\,dx=\tfrac{1}{4}x^4.
Avaliar de 0 a 1:
\int_{0}^{1}x^2\,dx = \tfrac{1}{3},\qquad \int_{0}^{1}x^3\,dx = \tfrac{1}{4}.
Portanto
V=\pi\bigg(4\cdot\tfrac{1}{3} - 4\cdot\tfrac{1}{4}\bigg) = \pi\bigg(\tfrac{4}{3}-1\bigg) = \pi\bigg(\tfrac{4}{3}-\tfrac{3}{3}\bigg) = \pi\cdot\tfrac{1}{3}.

Passo 8

Interpretação final e checagem simples: o volume obtido é \tfrac{\pi}{3}. Faz sentido em ordem de grandeza (um número pouco maior que 1, já que \tfrac{\pi}{3}\approx1,047), compatível com a região pequena entre x=0 e x=1.

Resposta

\dfrac{\pi}{3}

Exercícios relacionados