Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas
e
em torno do eixo
.
Passo 1
O enunciado nos dá duas curvas e pede o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por elas em torno do eixo
. Informações e pedidos:
- Curvas:
e . - Eixo de rotação: eixo
. - Pedido: determinar o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas duas curvas em torno do eixo
. - Precisamos também identificar o intervalo em
onde a região está delimitada (os pontos de interseção das curvas).
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção das curvas para saber o intervalo de integração. Igualamos as duas expressões de
:
Resolvendo:
Fatorando:
logo as soluções são
e
. Portanto a região está no intervalo
.
Passo 3
Determinar qual curva está acima (maior
) e qual está abaixo no intervalo
. Compare as funções:
-
. -
.
Para um ponto interior ao intervalo, por exemplo
:
Como
em
e ambas se encontram apenas em
e
, concluímos que em todo o intervalo
vale
Passo 4
Apresentar o método para calcular o volume (explicação didática). Quando uma região plana entre duas curvas
e
é girada em torno do eixo
, o volume pode ser obtido pelo método dos discos/aros (washers). A ideia:
- Fixe um
e considere a seção transversal perpendicular ao eixo : um anel (aro) com raio externo e raio interno (assumindo ). - A área do aro é
. - Aproximando o sólido por finos cortes de espessura
e somando, obtemos a integral
onde
e
são os limites em
(aqui
,
).
Observação: é importante que as funções que definem os raios sejam não negativas no intervalo; aqui ambas são não negativas em .
Observação: é importante que as funções que definem os raios sejam não negativas no intervalo; aqui ambas são não negativas em
Passo 5
Aplicar a fórmula ao nosso caso. Tomamos
Assim
Passo 6
Simplificar o integrando antes de integrar. Primeiro expandir os quadrados:
Subtraindo:
Fatorando, se quiser:
Logo a integral fica
Passo 7
Calcular a integral passo a passo. Podemos separar os termos:
Calcule as primitivas:
Avaliar de
a
:
Portanto
Passo 8
Interpretação final e checagem simples: o volume obtido é
. Faz sentido em ordem de grandeza (um número pouco maior que
, já que
), compatível com a região pequena entre
e
.