Resolva a seguinte expressão:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todos os valores de
(presumivelmente
) que satisfazem a equação
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A incógnita é
. - Aparecem as funções hiperbólicas
e aplicadas a . - A equação é igual a
.
Passo 2
Primeiro vamos recordar as definições das funções hiperbólicas em termos de exponenciais — isso é crucial porque facilita transformar a equação em uma equação algébrica que a gente sabe resolver. Para qualquer número real
,
Aqui
é a exponencial, e
é o inverso da exponencial. Essas fórmulas são verdadeiras para todo
. Vamos aplicar com
.
Passo 3
Substituindo
e
pelas suas expressões em exponenciais, a equação fica
Explique: multiplicamos
pela expressão de
e
pela expressão de
, e ambas têm divisor
.
Passo 4
Colocamos os termos sob o mesmo denominador e somamos os numeradores:
Agora desenvolvendo os parênteses no numerador:
Agrupando termos semelhantes (
com
e
com
):
ou seja
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Agora é conveniente fazer a substituição
. Observação importante: como
com
para todo
, teremos
. Com essa substituição
. Substituindo na equação:
Passo 6
Multiplicando a equação por
(válido porque
), obtemos uma equação quadrática em
:
Colocando em forma padrão:
Podemos dividir todos os termos por
para simplificar:
Passo 7
Resolvemos a quadrática usando a fórmula de Bhaskara. Para
, o discriminante é
Assim as raízes são
Ambas são positivas porque
e o numerador em cada caso é positivo, logo ambas correspondem a valores válidos de
.
Passo 8
Voltando à variável
: temos
, portanto
e
Substituindo as duas soluções de
, obtemos as duas soluções de
:
Se quiser ter uma intuição numérica rápida:
e
, então os
são um positivo e outro negativo, coerente com
variando acima e abaixo de
.