Resolva a seguinte expressão:
5 \operatorname{cosh} (2 x)-3 \operatorname{sinh} (2 x)=7

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os valores de x (presumivelmente x\in\mathbb{R}) que satisfazem a equação
5 \operatorname{cosh}(2x) - 3 \operatorname{sinh}(2x) = 7.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A incógnita é x.
  • Aparecem as funções hiperbólicas \operatorname{cosh} e \operatorname{sinh} aplicadas a 2x.
  • A equação é igual a 7.

Passo 2

Primeiro vamos recordar as definições das funções hiperbólicas em termos de exponenciais — isso é crucial porque facilita transformar a equação em uma equação algébrica que a gente sabe resolver. Para qualquer número real u,
\operatorname{cosh}(u)=\frac{e^{u}+e^{-u}}{2},\qquad \operatorname{sinh}(u)=\frac{e^{u}-e^{-u}}{2}.
Aqui e^{u} é a exponencial, e e^{-u} é o inverso da exponencial. Essas fórmulas são verdadeiras para todo u\in\mathbb{R}. Vamos aplicar com u=2x.

Passo 3

Substituindo \operatorname{cosh}(2x) e \operatorname{sinh}(2x) pelas suas expressões em exponenciais, a equação fica
5\cdot\frac{e^{2x}+e^{-2x}}{2}-3\cdot\frac{e^{2x}-e^{-2x}}{2}=7.
Explique: multiplicamos 5 pela expressão de \operatorname{cosh}(2x) e 3 pela expressão de \operatorname{sinh}(2x), e ambas têm divisor 2.

Passo 4

Colocamos os termos sob o mesmo denominador e somamos os numeradores:
\frac{1}{2}\big(5(e^{2x}+e^{-2x})-3(e^{2x}-e^{-2x})\big)=7.
Agora desenvolvendo os parênteses no numerador:
\frac{1}{2}\big(5e^{2x}+5e^{-2x}-3e^{2x}+3e^{-2x}\big)=7.
Agrupando termos semelhantes ( e^{2x} com e^{2x} e e^{-2x} com e^{-2x}):
\frac{1}{2}\big((5-3)e^{2x}+(5+3)e^{-2x}\big)=7
ou seja
\frac{1}{2}\big(2e^{2x}+8e^{-2x}\big)=7.

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
2e^{2x}+8e^{-2x}=14.
Agora é conveniente fazer a substituição t=e^{2x}. Observação importante: como t=e^{2x} com e^{2x}>0 para todo x, teremos t>0. Com essa substituição e^{-2x}=1/t. Substituindo na equação:
2t+8\cdot\frac{1}{t}=14.

Passo 6

Multiplicando a equação por t (válido porque t>0), obtemos uma equação quadrática em t:
2t^2+8=14t.
Colocando em forma padrão:
2t^2-14t+8=0.
Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar:
t^2-7t+4=0.

Passo 7

Resolvemos a quadrática usando a fórmula de Bhaskara. Para t^2-7t+4=0, o discriminante é
\Delta = (-7)^2-4\cdot1\cdot4 =49-16=33.
Assim as raízes são
t=\frac{7\pm\sqrt{33}}{2}.
Ambas são positivas porque 7>\sqrt{33} e o numerador em cada caso é positivo, logo ambas correspondem a valores válidos de t=e^{2x}.

Passo 8

Voltando à variável x: temos e^{2x}=t, portanto 2x=\ln(t) e
x=\frac{1}{2}\ln(t).
Substituindo as duas soluções de t, obtemos as duas soluções de x:
x=\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{7+\sqrt{33}}{2}\right) \quad\text{e}\quad x=\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{7-\sqrt{33}}{2}\right).
Se quiser ter uma intuição numérica rápida: \frac{7+\sqrt{33}}{2}\approx6{,}372 e \frac{7-\sqrt{33}}{2}\approx0{,}628, então os x são um positivo e outro negativo, coerente com e^{2x} variando acima e abaixo de 1.

Resposta

x=\dfrac{1}{2}\ln\!\left(\dfrac{7+\sqrt{33}}{2}\right)
x=\dfrac{1}{2}\ln\!\left(\dfrac{7-\sqrt{33}}{2}\right)

Exercícios relacionados