Calcule o valor de:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o valor de
.
Informações dadas: a base da potência é ; o expoente é o logaritmo de
na mesma base
, isto é,
.
Observação importante (domínio): a base do logaritmo é (maior que zero e diferente de
) e o argumento do logaritmo é
(positivo). Portanto a expressão está bem definida.
Informações dadas: a base da potência é
Observação importante (domínio): a base do logaritmo é
Passo 2
Vamos lembrar o significado do logaritmo: por definição,
é o número
tal que
. Em palavras: o logaritmo responde “a que potência devo elevar
para obter
?”
Exemplo simples para fixar: porque
.
Exemplo simples para fixar:
Passo 3
De
segue diretamente que
. Substituindo
por
obtemos a identidade fundamental (propriedade inversa):
válida para qualquer
,
, e
. Essa propriedade é a razão pela qual potências e logaritmos “se cancelam” quando têm a mesma base.
Passo 4
Aplicando essa propriedade ao nosso caso: a base da potência é
e o logaritmo também é na base
. Portanto
Para quem gosta de ver outra forma de raciocinar, dá para usar a mudança de base e exponenciação com
:
que confirma o mesmo resultado.
Dica para a prova: sempre que vir uma expressão do tipo , você já pode simplificar imediatamente para “algo”, desde que as condições de domínio sejam satisfeitas. Exemplos rápidos:
,
.
Dica para a prova: sempre que vir uma expressão do tipo
Passo 5
Conclusão final: a identidade inversa entre potência e logaritmo aplica-se diretamente aqui e dá o valor pedido.