Calcule o valor de:
5^{\log _{5} 8}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o valor de 5^{\log_{5} 8}.
Informações dadas: a base da potência é 5; o expoente é o logaritmo de 8 na mesma base 5, isto é, \log_{5}8.
Observação importante (domínio): a base do logaritmo é 5 (maior que zero e diferente de 1) e o argumento do logaritmo é 8 (positivo). Portanto a expressão está bem definida.

Passo 2

Vamos lembrar o significado do logaritmo: por definição, \log_{a} b é o número y tal que a^{y}=b. Em palavras: o logaritmo responde “a que potência devo elevar a para obter b?”
Exemplo simples para fixar: \log_{2}8=3 porque 2^{3}=8.

Passo 3

De y=\log_{a} x segue diretamente que a^{y}=x. Substituindo y por \log_{a} x obtemos a identidade fundamental (propriedade inversa):
a^{\log_{a} x}=x,
válida para qualquer a>0, a\neq1, e x>0. Essa propriedade é a razão pela qual potências e logaritmos “se cancelam” quando têm a mesma base.

Passo 4

Aplicando essa propriedade ao nosso caso: a base da potência é 5 e o logaritmo também é na base 5. Portanto
5^{\log_{5}8}=8.
Para quem gosta de ver outra forma de raciocinar, dá para usar a mudança de base e exponenciação com e:
\log_{5}8=\frac{\ln 8}{\ln 5}\quad\Rightarrow\quad 5^{\log_{5}8}=5^{\frac{\ln 8}{\ln 5}}=e^{\ln 5\cdot\frac{\ln 8}{\ln 5}}=e^{\ln 8}=8,
que confirma o mesmo resultado.
Dica para a prova: sempre que vir uma expressão do tipo a^{\log_{a}(\text{algo})}, você já pode simplificar imediatamente para “algo”, desde que as condições de domínio sejam satisfeitas. Exemplos rápidos: 3^{\log_{3}7}=7, 10^{\log_{10}0{,}5}=0{,}5.

Passo 5

Conclusão final: a identidade inversa entre potência e logaritmo aplica-se diretamente aqui e dá o valor pedido.

Resposta

8

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