Resolva a equação:
.
Passo 1
O enunciado pede que a gente resolva a equação
Informações relevantes dadas:
- A expressão envolve duas funções logarítmicas compostas: uma
aplicada ao polinômio e depois uma aplicada ao resultado. - As bases dos logaritmos são
e , ambas maiores que . - Precisamos encontrar todos os valores de
reais que satisfazem a igualdade e que fazem todas as expressões bem definidas (isto é, dentro do domínio dos logaritmos).
Passo 2
Relembrando propriedades essenciais de logaritmos (aula rápida e prática):
- Um logaritmo
só está definido se e se com . Aqui e satisfazem isso, então a condição importante é o argumento ser positivo. - Para
, a função é estritamente crescente. Isso significa que se e , então necessariamente (desde que e ). Vamos usar isso para simplificar a equação.
(Dica prática: quando você vêe a base é a mesma e maior que , pode igualar os “algos” diretamente.)
Passo 3
Aplicando a propriedade de função estritamente crescente da
: como
implica
(quando as duas são positivas), da equação inicial segue
porque eu igualei o argumento da
ao número
(pois
é
de
).
Passo 4
Converter a igualdade logarítmica para forma exponencial (aqui ensinar como fazer): a relação
significa, por definição de logaritmo, que o número
é a potência de base
com expoente
. Em notação:
Calcule
:
Passo 5
Obtemos então a equação algébrica simples
Subtraindo
de ambos os lados para escrever na forma padrão:
Agora resolvemos essa equação quadrática. Vou fatorar quando possível: procuro dois números cujo produto seja
e cuja soma seja
. Esses números são
e
. Reescrevo o termo do meio usando esses números e fatoro por agrupamento:
Portanto as soluções candidatas são obtidas igualando cada fator a zero:
Passo 6
Verificação de domínio (passo obrigatório em questões com logaritmo): precisamos garantir que, para cada candidato, o argumento do logaritmo interno seja positivo:
o argumento do é
. Vamos calcular para cada solução:
o argumento do
Para
:
Além disso já sabemos que
, o que é consistente.
Para
:
Também aqui
. Assim ambos valores tornam todos os logaritmos bem definidos e satisfazem a equação original.
Passo 7
Conclusão e encorajamento rápido: encontramos duas soluções e verificamos que ambas são válidas no domínio da expressão. Mandou bem por chegar até aqui — é exatamente esse tipo de checagem que costuma aparecer na prova: igualar argumentos por monotonicidade e conferir domínio.