Resolva a equação: \log _{3}\left[\log _{2}\left(3 x^{2}-5 x+2\right)\right]=\log _{3} 2.

Passo 1

O enunciado pede que a gente resolva a equação
\log_{3}\!\left[\log_{2}\!\left(3x^{2}-5x+2\right)\right]=\log_{3}2.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão envolve duas funções logarítmicas compostas: uma \log_{2} aplicada ao polinômio 3x^{2}-5x+2 e depois uma \log_{3} aplicada ao resultado.
  • As bases dos logaritmos são 2 e 3, ambas maiores que 1.
  • Precisamos encontrar todos os valores de x reais que satisfazem a igualdade e que fazem todas as expressões bem definidas (isto é, dentro do domínio dos logaritmos).

Passo 2

Relembrando propriedades essenciais de logaritmos (aula rápida e prática):
  • Um logaritmo \log_{a}(y) só está definido se y>0 e se a>0 com a\neq1. Aqui a=2 e a=3 satisfazem isso, então a condição importante é o argumento ser positivo.
  • Para a>1, a função y\mapsto\log_{a}y é estritamente crescente. Isso significa que se \log_{a}U=\log_{a}V e a>1, então necessariamente U=V (desde que U>0 e V>0). Vamos usar isso para simplificar a equação.
    (Dica prática: quando você vê \log_{3}(\text{algo})=\log_{3}(\text{outra coisa}) e a base é a mesma e maior que 1, pode igualar os “algos” diretamente.)

Passo 3

Aplicando a propriedade de função estritamente crescente da \log_{3}: como \log_{3}A=\log_{3}B implica A=B (quando as duas são positivas), da equação inicial segue
\log_{2}\!\left(3x^{2}-5x+2\right)=2,
porque eu igualei o argumento da \log_{3} ao número 2 (pois \log_{3}2 é \log_{3} de 2).

Passo 4

Converter a igualdade logarítmica para forma exponencial (aqui ensinar como fazer): a relação
\log_{2}\!\left(3x^{2}-5x+2\right)=2
significa, por definição de logaritmo, que o número 3x^{2}-5x+2 é a potência de base 2 com expoente 2. Em notação:
3x^{2}-5x+2 = 2^{2}.
Calcule 2^{2}:
2^{2}=4.

Passo 5

Obtemos então a equação algébrica simples
3x^{2}-5x+2=4.
Subtraindo 4 de ambos os lados para escrever na forma padrão:
3x^{2}-5x+2-4=0
3x^{2}-5x-2=0.
Agora resolvemos essa equação quadrática. Vou fatorar quando possível: procuro dois números cujo produto seja 3\cdot(-2)=-6 e cuja soma seja -5. Esses números são -6 e 1. Reescrevo o termo do meio usando esses números e fatoro por agrupamento:
3x^{2}-6x+x-2 = 0
3x(x-2)+1(x-2)=0
(3x+1)(x-2)=0.
Portanto as soluções candidatas são obtidas igualando cada fator a zero:
3x+1=0 \quad\Rightarrow\quad x=-\tfrac{1}{3},
x-2=0 \quad\Rightarrow\quad x=2.

Passo 6

Verificação de domínio (passo obrigatório em questões com logaritmo): precisamos garantir que, para cada candidato, o argumento do logaritmo interno seja positivo:
o argumento do \log_{2} é 3x^{2}-5x+2. Vamos calcular para cada solução:
Para x=2:
3\cdot 2^{2}-5\cdot 2+2 = 3\cdot4 -10 +2 =12-10+2=4>0.
Além disso já sabemos que \log_{2}(4)=2, o que é consistente.
Para x=-\tfrac{1}{3}:
3\left(-\tfrac{1}{3}\right)^{2}-5\left(-\tfrac{1}{3}\right)+2 = 3\cdot\tfrac{1}{9} + \tfrac{5}{3} +2 = \tfrac{1}{3} + \tfrac{5}{3} +2 = \tfrac{6}{3} +2 =2+2=4>0.
Também aqui \log_{2}(4)=2. Assim ambos valores tornam todos os logaritmos bem definidos e satisfazem a equação original.

Passo 7

Conclusão e encorajamento rápido: encontramos duas soluções e verificamos que ambas são válidas no domínio da expressão. Mandou bem por chegar até aqui — é exatamente esse tipo de checagem que costuma aparecer na prova: igualar argumentos por monotonicidade e conferir domínio.

Resposta

x=2
x=-\tfrac{1}{3}

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