Resolva a seguinte integral
\int \frac{d x}{\sqrt{x}\left(x^{2}-5 x+4\right)}

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e o que temos de dado. O problema é calcular a integral indefinida
\int \frac{d x}{\sqrt{x}\left(x^{2}-5 x+4\right)}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A variável de integração é x.
  • Aparece \sqrt{x} no denominador, o que sugere uma substituição do tipo x = t^{2} (ou seja, trabalhar com a raiz).
  • O polinômio x^{2}-5x+4 pode ser fatorado (isso provavelmente será útil para decomposição em frações parciais depois da substituição).
    O objetivo final é encontrar uma função primitiva F(x) tal que F'(x) seja a função integranda, e apresentar a constante de integração C.

Passo 2

Motivação e primeira substituição. Como há \sqrt{x} no denominador, a substituição clássica é
x = t^{2},
onde t=\sqrt{x} (assumindo a raiz principal t\ge 0 enquanto construímos a primitiva; as fórmulas finais valem por continuidade com valores absolutos). Vamos transformar tudo em t:
  • Diferenciando, \,dx = 2t\,dt.
  • Também \sqrt{x}=t.
    Substituindo na integral:
\int \frac{dx}{\sqrt{x}\left(x^{2}-5x+4\right)} = \int \frac{2t\,dt}{t\bigl(t^{4}-5t^{2}+4\bigr)} = 2\int \frac{dt}{t^{4}-5t^{2}+4}.
Expliquei: ao substituir x=t^{2} o dx vira 2t\,dt e o \sqrt{x} vira t, o que cancela o t no numerador, sobrando uma integral racional em t.

Passo 3

Fatoração do denominador em t. Observe o polinômio em t:
t^{4}-5t^{2}+4.
Trate isso como polinômio quadrático em t^{2}: seja y=t^{2}, então é y^{2}-5y+4 que fatoriza como (y-1)(y-4). Voltando a t:
t^{4}-5t^{2}+4=(t^{2}-1)(t^{2}-4).
Cada fator quadrático em t pode ser fatorado em lineares:
(t^{2}-1)=(t-1)(t+1),\qquad (t^{2}-4)=(t-2)(t+2).
Logo
t^{4}-5t^{2}+4=(t-1)(t+1)(t-2)(t+2).
Portanto a integral ficou
2\int \frac{dt}{(t-1)(t+1)(t-2)(t+2)}.

Passo 4

Decomposição em frações parciais. Para integrar uma racional com quadrado no denominador fatorado em lineares distintos, escrevemos
\frac{2}{(t-1)(t+1)(t-2)(t+2)}=\frac{A}{t-1}+\frac{B}{t+1}+\frac{C}{t-2}+\frac{D}{t+2},
onde A,B,C,D são constantes a determinar. Multiplicando ambos os lados por (t-1)(t+1)(t-2)(t+2) obtemos a identidade polinomial
2 = A(t+1)(t-2)(t+2) + B(t-1)(t-2)(t+2) + C(t-1)(t+1)(t+2) + D(t-1)(t+1)(t-2).
Uma forma prática de achar A,B,C,D é avaliar essa identidade em valores de t que anulam um fator de cada vez.
  • Tomando t=1:
2 = A(1+1)(1-2)(1+2) = A\cdot 2\cdot(-1)\cdot 3 = -6A \quad\Rightarrow\quad A=-\tfrac{1}{3}.
  • Tomando t=-1:
2 = B(-1-1)(-1-2)(-1+2) = B\cdot(-2)\cdot(-3)\cdot 1 = 6B \quad\Rightarrow\quad B=\tfrac{1}{3}.
  • Tomando t=2:
2 = C(2-1)(2+1)(2+2) = C\cdot 1\cdot 3\cdot 4 = 12C \quad\Rightarrow\quad C=\tfrac{1}{6}.
  • Tomando t=-2:
2 = D(-2-1)(-2+1)(-2-2) = D\cdot(-3)\cdot(-1)\cdot(-4) = -12D \quad\Rightarrow\quad D=-\tfrac{1}{6}.
Portanto os coeficientes são
A=-\tfrac{1}{3},\quad B=\tfrac{1}{3},\quad C=\tfrac{1}{6},\quad D=-\tfrac{1}{6}.

Passo 5

Reescrevendo a integral com a decomposição e integrando termo a termo. Substituindo na integral:
2\int \frac{dt}{(t-1)(t+1)(t-2)(t+2)} = \int\left(\frac{A}{t-1}+\frac{B}{t+1}+\frac{C}{t-2}+\frac{D}{t+2}\right)dt.
Com os valores de A,B,C,D:
\int\left(-\frac{1}{3}\frac{1}{t-1}+\frac{1}{3}\frac{1}{t+1}+\frac{1}{6}\frac{1}{t-2}-\frac{1}{6}\frac{1}{t+2}\right)dt.
Cada termo tem primitiva dada por logaritmo: a primitiva de \dfrac{1}{t-a} é \ln|t-a|. Assim:
\begin{aligned} &-\tfrac{1}{3}\int\frac{dt}{t-1}+\tfrac{1}{3}\int\frac{dt}{t+1}+\tfrac{1}{6}\int\frac{dt}{t-2}-\tfrac{1}{6}\int\frac{dt}{t+2} \\\ &= -\tfrac{1}{3}\ln|t-1|+\tfrac{1}{3}\ln|t+1|+\tfrac{1}{6}\ln|t-2|-\tfrac{1}{6}\ln|t+2| + C, \end{aligned}
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltar à variável original x. Lembrando que fizemos t=\sqrt{x}, substituímos de volta:
-\tfrac{1}{3}\ln\bigl|\sqrt{x}-1\bigr|+\tfrac{1}{3}\ln\bigl|\sqrt{x}+1\bigr|+\tfrac{1}{6}\ln\bigl|\sqrt{x}-2\bigr|-\tfrac{1}{6}\ln\bigl|\sqrt{x}+2\bigr|+C.
Podemos combinar logaritmos para deixar a expressão mais compacta. Agrupando:
\frac{1}{3}\ln\left|\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\right|+\frac{1}{6}\ln\left|\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}\right|+C.
Se preferir, todas as constantes de multiplicação dos logaritmos podem ser passadas como expoentes: essa é a forma final elegante da primitiva. Lembre-se de que as expressões com \sqrt{x}-1 e \sqrt{x}-2 exigem atenção ao domínio (pontos x=1 e x=4 correspondem a singularidades da integranda), por isso os valores absolutos aparecem.

Resposta

\frac{1}{3}\ln\left|\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\right|+\frac{1}{6}\ln\left|\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}\right|+C

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