Encontre o valor da integral definida abaixo
\int_{0}^{\pi / 2} \frac{\operatorname{sen}^{n}(x)}{\operatorname{sen}^{n}(x)+\cos ^{n}(x)} d x
onde n \in \mathbb{N}.
Dica: Faça a substituição u=\pi / 2-x e pense nas identidades trigonométricas.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{\pi / 2} \frac{\operatorname{sen}^{n}(x)}{\operatorname{sen}^{n}(x)+\cos^{n}(x)}\,dx,
onde n\in\mathbb{N}. A dica indica fazer a substituição u=\pi/2-x e usar identidades trigonométricas. Informações relevantes dadas:
  • O integrando é \dfrac{\operatorname{sen}^{n}(x)}{\operatorname{sen}^{n}(x)+\cos^{n}(x)}.
  • O intervalo de integração é [0,\pi/2].
  • A função trigonométrica relevante é \operatorname{sen}(\pi/2-u)=\cos u (e simetricamente \cos(\pi/2-u)=\operatorname{sen} u).
    Não começar a resolver aqui; isso será feito no próximo passo.

Passo 2

Defino a integral procurada por
I=\int_{0}^{\pi / 2} \frac{\operatorname{sen}^{n}(x)}{\operatorname{sen}^{n}(x)+\cos^{n}(x)}\,dx.
Agora faço a substituição sugerida: u=\dfrac{\pi}{2}-x. Então du=-dx. Quando x=0 temos u=\pi/2; quando x=\pi/2 temos u=0. Aplicando a substituição na integral, trocando os limites e o sinal do diferencial:
I=\int_{\pi/2}^{0}\frac{\operatorname{sen}^{n}(\pi/2-u)}{\operatorname{sen}^{n}(\pi/2-u)+\cos^{n}(\pi/2-u)}(-du).

Passo 3

Uso as identidades trigonométricas \operatorname{sen}(\pi/2-u)=\cos u e \cos(\pi/2-u)=\operatorname{sen} u. Substituindo na expressão do passo anterior e revertendo os limites para 0 a \pi/2:
I=\int_{0}^{\pi/2}\frac{\cos^{n}(u)}{\cos^{n}(u)+\operatorname{sen}^{n}(u)}\,du.
Como a letra de integração é só um nome, posso renomear u de volta para x sem mudar o valor:
I=\int_{0}^{\pi/2}\frac{\cos^{n}(x)}{\operatorname{sen}^{n}(x)+\cos^{n}(x)}\,dx.

Passo 4

Agora observe que somando a integral original com a que obtivemos pelo método da substituição, o numerador das duas frações soma exatamente o denominador:
\int_{0}^{\pi/2}\frac{\operatorname{sen}^{n}(x)}{\operatorname{sen}^{n}(x)+\cos^{n}(x)}\,dx + \int_{0}^{\pi/2}\frac{\cos^{n}(x)}{\operatorname{sen}^{n}(x)+\cos^{n}(x)}\,dx = \int_{0}^{\pi/2}1\,dx.
O lado esquerdo é I+I=2I (pois mostramos que a segunda integral é igual a I). O lado direito é
\int_{0}^{\pi/2}1\,dx=\left[x\right]_{0}^{\pi/2}=\frac{\pi}{2}.
Portanto
2I=\frac{\pi}{2}.

Passo 5

Dividindo ambos os lados por 2 obtemos
I=\frac{\pi}{4}.
Isso mostra que o valor da integral é independente de n (para n\in\mathbb{N}) — a simetria entre \operatorname{sen} e \cos no intervalo [0,\pi/2] é o que garante isso.

Passo 6

Comentário didático e garantia: a razão pela qual isso funciona é a simetria que aparece ao trocar x por \pi/2-x. A substituição transforma \operatorname{sen} em \cos e vice-versa; somando as duas versões do integrando obtemos 1 ponto a ponto, o que torna a soma das integrais trivial. Note que o denominador \operatorname{sen}^{n}(x)+\cos^{n}(x) é estritamente positivo em (0,\pi/2), então não há problema de divisão por zero no interior do intervalo; nas extremidades a função tem limites finitos e a integral é bem definida.

Resposta

\dfrac{\pi}{4}

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