Encontre o valor da integral definida abaixo
onde
.
Dica: Faça a substituição
e pense nas identidades trigonométricas.
Dica: Faça a substituição
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
onde
. A dica indica fazer a substituição
e usar identidades trigonométricas. Informações relevantes dadas:
- O integrando é
. - O intervalo de integração é
. - A função trigonométrica relevante é
(e simetricamente ).
Não começar a resolver aqui; isso será feito no próximo passo.
Passo 2
Defino a integral procurada por
Agora faço a substituição sugerida:
. Então
. Quando
temos
; quando
temos
. Aplicando a substituição na integral, trocando os limites e o sinal do diferencial:
Passo 3
Uso as identidades trigonométricas
e
. Substituindo na expressão do passo anterior e revertendo os limites para
a
:
Como a letra de integração é só um nome, posso renomear
de volta para
sem mudar o valor:
Passo 4
Agora observe que somando a integral original com a que obtivemos pelo método da substituição, o numerador das duas frações soma exatamente o denominador:
O lado esquerdo é
(pois mostramos que a segunda integral é igual a
). O lado direito é
Portanto
Passo 5
Dividindo ambos os lados por
obtemos
Isso mostra que o valor da integral é independente de
(para
) — a simetria entre
e
no intervalo
é o que garante isso.
Passo 6
Comentário didático e garantia: a razão pela qual isso funciona é a simetria que aparece ao trocar
por
. A substituição transforma
em
e vice-versa; somando as duas versões do integrando obtemos
ponto a ponto, o que torna a soma das integrais trivial. Note que o denominador
é estritamente positivo em
, então não há problema de divisão por zero no interior do intervalo; nas extremidades a função tem limites finitos e a integral é bem definida.