Resolva o seguinte problema de valor de contomo:
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}=-\frac{6}{x^{2}} y, x>0 \\\ y(1)=0, y(1)+y^{\prime}(2)=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o seguinte problema de valor de contorno para x>0:
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime\prime}=-\dfrac{6}{x^{2}}\,y,\\[4pt] y(1)=0,\\[2pt] y(1)+y^{\prime}(2)=0. \end{array}\right.
O que é pedido: encontrar todas as funções y(x) definidas para x>0 que satisfazem a equação diferencial e as duas condições de contorno dadas. As informações relevantes que temos são:
  • A equação diferencial é \;y^{\prime\prime} + \dfrac{6}{x^{2}}y=0.
  • Condição em x=1: y(1)=0.
  • Condição mista: y(1)+y'(2)=0.
  • Domínio: x>0.]

Passo 2

Tentamos uma solução do tipo potência: suponha
y(x)=x^{m},
com m real (ou complexo). Isso é uma tentativa padrão quando aparecem potências de x nos coeficientes, porque derivadas de x^{m} voltam a ser múltiplas de x^{m-2}, permitindo cancelar fatores de x.
Calcule as derivadas:
y'(x)=m x^{m-1},\qquad y''(x)=m(m-1)x^{m-2}.
Substituindo na equação diferencial \;y'' + \dfrac{6}{x^{2}}y=0 obtemos
m(m-1)x^{m-2} + \dfrac{6}{x^{2}} x^{m} = 0.
Como x^{m-2} é comum (e nunca zero para x>0), cancelamos e ficamos com a equação algébrica
m(m-1)+6=0,
ou seja
m^{2}-m+6=0.

Passo 3

Resolvendo a quadrática m^{2}-m+6=0:
\Delta = (-1)^{2}-4\cdot1\cdot6 = 1-24 = -23.
Como o discriminante é negativo, as raízes são complexas:
m=\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt{23}}{2}.
Denotando a=\dfrac{1}{2} e b=\dfrac{\sqrt{23}}{2}, as raízes são m=a\pm i b.

Passo 4

Quando as raízes são complexas conjugadas a\pm i b, as soluções reais gerais são dadas por
y(x)=x^{a}\left(C_{1}\cos\bigl(b\ln x\bigr)+C_{2}\sin\bigl(b\ln x\bigr)\right),
porque x^{a+ib}=x^{a}e^{ib\ln x}=x^{a}(\cos(b\ln x)+i\sin(b\ln x)). Substituindo a=\dfrac{1}{2} e b=\dfrac{\sqrt{23}}{2}, obtemos a solução geral real:
y(x)=x^{1/2}\left(C_{1}\cos\!\left(\tfrac{\sqrt{23}}{2}\ln x\right)+C_{2}\sin\!\left(\tfrac{\sqrt{23}}{2}\ln x\right)\right),
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias reais.

Passo 5

Agora aplicamos as condições de contorno. Primeiro y(1)=0. Note que \ln 1=0 e 1^{1/2}=1, então
y(1)=C_{1}\cos(0)+C_{2}\sin(0)=C_{1}\cdot 1 + C_{2}\cdot 0 = C_{1}.
Portanto a condição y(1)=0
C_{1}=0.

Passo 6

Com C_{1}=0, a solução reduz-se a
y(x)=C_{2}\,x^{1/2}\sin\!\left(k\ln x\right),
onde para simplificar escrevemos k=\dfrac{\sqrt{23}}{2}.
Precisamos agora da derivada y'(x). Usamos a regra do produto e a cadeia:
\begin{aligned} y'(x) &= C_{2}\frac{d}{dx}\!\bigl(x^{1/2}\bigr)\sin(k\ln x) + C_{2}\,x^{1/2}\frac{d}{dx}\!\bigl(\sin(k\ln x)\bigr)\\[4pt] &= C_{2}\left(\tfrac{1}{2}x^{-1/2}\sin(k\ln x) + x^{1/2}\cos(k\ln x)\cdot k\cdot\frac{1}{x}\right). \end{aligned}
Simplificando x^{1/2}\cdot\frac{1}{x}=x^{-1/2}, obtemos
y'(x)=C_{2}\,x^{-1/2}\left(\tfrac{1}{2}\sin(k\ln x)+k\cos(k\ln x)\right).]

Passo 7

A segunda condição é y(1)+y'(2)=0. Já sabemos y(1)=0, portanto a condição reduz-se a
y'(2)=0.
Substituindo x=2 na expressão de y'(x):
y'(2)=C_{2}\,2^{-1/2}\left(\tfrac{1}{2}\sin(k\ln 2)+k\cos(k\ln 2)\right)=0.
Isto implica duas possibilidades:
  1. C_{2}=0, que produz a solução trivial y\equiv 0.
  2. Ou o fator entre parênteses é zero:
\tfrac{1}{2}\sin(k\ln 2)+k\cos(k\ln 2)=0.

Passo 8

Devemos verificar se a segunda possibilidade ocorre para o valor fixo k=\dfrac{\sqrt{23}}{2}. Calculemos numericamente (apenas para checar se esse fator anula-se):
k=\frac{\sqrt{23}}{2}\approx 2{,}3979157615,\qquad \ln 2\approx 0{,}6931471806,
k\ln 2 \approx 2{,}3979157615\cdot 0{,}6931471806 \approx 1{,}66247.
Então
\sin(k\ln 2)\approx 0{,}9958,\qquad \cos(k\ln 2)\approx -0{,}0916.
Logo o fator é aproximadamente
\tfrac{1}{2}\cdot 0{,}9958 + 2{,}3979\cdot(-0{,}0916)\approx 0{,}4979 - 0{,}2196 \approx 0{,}2783,
que não é zero. Assim a segunda possibilidade não ocorre; o único modo de anular y'(2) é C_{2}=0.

Passo 9

Concluímos que as constantes C_{1} e C_{2} são obrigatoriamente nulas: C_{1}=0 (da primeira condição) e C_{2}=0 (da segunda, pois o fator trigonométrico não é zero). Portanto a única solução que satisfaz a equação diferencial e as duas condições é a solução trivial
y(x)\equiv 0\qquad\text{para }x>0.

Resposta

y(x)\equiv 0

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