O que é pedido: encontrar todas as funções y(x) definidas para x>0 que satisfazem a equação diferencial e as duas condições de contorno dadas. As informações relevantes que temos são:
A equação diferencial é \;y^{\prime\prime} + \dfrac{6}{x^{2}}y=0.
Condição em x=1: y(1)=0.
Condição mista: y(1)+y'(2)=0.
Domínio: x>0.]
Passo 2
Tentamos uma solução do tipo potência: suponha
y(x)=x^{m},
com m real (ou complexo). Isso é uma tentativa padrão quando aparecem potências de x nos coeficientes, porque derivadas de x^{m} voltam a ser múltiplas de x^{m-2}, permitindo cancelar fatores de x.
Calcule as derivadas:
y'(x)=m x^{m-1},\qquad y''(x)=m(m-1)x^{m-2}.
Substituindo na equação diferencial \;y'' + \dfrac{6}{x^{2}}y=0 obtemos
m(m-1)x^{m-2} + \dfrac{6}{x^{2}} x^{m} = 0.
Como x^{m-2} é comum (e nunca zero para x>0), cancelamos e ficamos com a equação algébrica
m(m-1)+6=0,
ou seja
m^{2}-m+6=0.
Passo 3
Resolvendo a quadrática m^{2}-m+6=0:
\Delta = (-1)^{2}-4\cdot1\cdot6 = 1-24 = -23.
Como o discriminante é negativo, as raízes são complexas:
m=\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt{23}}{2}.
Denotando a=\dfrac{1}{2} e b=\dfrac{\sqrt{23}}{2}, as raízes são m=a\pm i b.
Passo 4
Quando as raízes são complexas conjugadas a\pm i b, as soluções reais gerais são dadas por
porque x^{a+ib}=x^{a}e^{ib\ln x}=x^{a}(\cos(b\ln x)+i\sin(b\ln x)). Substituindo a=\dfrac{1}{2} e b=\dfrac{\sqrt{23}}{2}, obtemos a solução geral real:
Devemos verificar se a segunda possibilidade ocorre para o valor fixo k=\dfrac{\sqrt{23}}{2}. Calculemos numericamente (apenas para checar se esse fator anula-se):
que não é zero. Assim a segunda possibilidade não ocorre; o único modo de anular y'(2) é C_{2}=0.
Passo 9
Concluímos que as constantes C_{1} e C_{2} são obrigatoriamente nulas: C_{1}=0 (da primeira condição) e C_{2}=0 (da segunda, pois o fator trigonométrico não é zero). Portanto a única solução que satisfaz a equação diferencial e as duas condições é a solução trivial