Assinale valores para as constantes reais a e b de modo que a função
f(z)=5 x-y+3+i(a x+b y-5)
seja analítica em todos os pontos do plano complexo.
Escolha uma opção:
a=1, b=-5
a=-1, b=5
a=-1, b=-5
a=0, b=0
a=1, b=5

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • A função é dada por f(z)=5 x-y+3+i(a x+b y-5), onde z=x+iy com x,y\in\mathbb{R}.
  • As partes real e imaginária são, portanto, u(x,y)=5x-y+3,
v(x,y)=a x+b y-5.
  • O enunciado pede: assinalar valores reais para a e b de modo que f seja analítica em todos os pontos do plano complexo (isto é, inteira / holomorfa em \mathbb{C}).

Passo 2

O que significa ser analítica (holomorfa) em todo o plano? Explicando de forma direta e prática para a prova:
  • Se f é escrita como f(z)=u(x,y)+i v(x,y) com u e v reais, uma condição suficiente (e necessária para funções com derivadas parciais contínuas) para f ser holomorfa é que u e v satisfaçam as equações de Cauchy–Riemann: u_x = v_y
u_y = -v_x
Aqui u_x significa a derivada parcial de u em relação a x, u_y a derivada parcial em relação a y, e analogamente para v_x,v_y.
  • Também é preciso que essas derivadas parciais sejam contínuas; no nosso caso, u e v são funções lineares em x,y, então suas derivadas parciais são constantes e, portanto, contínuas em todo lugar. Logo, basta impor as equações de Cauchy–Riemann.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de u e v.
  • Para u(x,y)=5x-y+3: u_x = 5,
u_y = -1.
Explicando rápido: derivada de 5x em relação a x é 5; de -y em relação a x é 0; e derivada em relação a y de -y é -1.
  • Para v(x,y)=a x+b y-5: v_x = a,
v_y = b.
Porque a x derivado em x a, e b y derivado em y b.

Passo 4

Impor as equações de Cauchy–Riemann e resolver para a e b.
  • A primeira equação é u_x = v_y. Substituindo os valores: 5 = b.
  • A segunda equação é u_y = -v_x. Substituindo: -1 = -a \quad\Longrightarrow\quad a = 1.

Passo 5

Verificação final das hipóteses: as derivadas parciais obtidas são constantes (logo contínuas) em todo \mathbb{R}^2. Portanto, com a e b encontrados, as equações de Cauchy–Riemann valem em todo o plano e f é analítica em todos os pontos de \mathbb{C}.

Resposta

a=1,\\ b=5

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