Assinale valores para as constantes reais
e
de modo que a função
seja analítica em todos os pontos do plano complexo.
Escolha uma opção:
◯
◯
◯
◯
◯
◯
◯
◯
◯
◯
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- A função é dada por
, onde com . - As partes real e imaginária são, portanto,
- O enunciado pede: assinalar valores reais para
e de modo que seja analítica em todos os pontos do plano complexo (isto é, inteira / holomorfa em ).
Passo 2
O que significa ser analítica (holomorfa) em todo o plano? Explicando de forma direta e prática para a prova:
- Se
é escrita como com e reais, uma condição suficiente (e necessária para funções com derivadas parciais contínuas) para ser holomorfa é que e satisfaçam as equações de Cauchy–Riemann:
Aqui
significa a derivada parcial de
em relação a
,
a derivada parcial em relação a
, e analogamente para
.
- Também é preciso que essas derivadas parciais sejam contínuas; no nosso caso,
e são funções lineares em , então suas derivadas parciais são constantes e, portanto, contínuas em todo lugar. Logo, basta impor as equações de Cauchy–Riemann.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
e
.
- Para
:
Explicando rápido: derivada de
em relação a
é
; de
em relação a
é
; e derivada em relação a
de
é
.
- Para
:
Porque
derivado em
dá
, e
derivado em
dá
.
Passo 4
Impor as equações de Cauchy–Riemann e resolver para
e
.
- A primeira equação é
. Substituindo os valores: - A segunda equação é
. Substituindo:
Passo 5
Verificação final das hipóteses: as derivadas parciais obtidas são constantes (logo contínuas) em todo
. Portanto, com
e
encontrados, as equações de Cauchy–Riemann valem em todo o plano e
é analítica em todos os pontos de
.