Encontre a solução geral do sistema linear nāo-homogêneo (cujo sistema homogêneo associado está na parte (a)) utilizando o método de variação de parâmetros:
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear não-homogêneo
e pede a solução geral usando o método de variação de parâmetros.
Informações fornecidas:
- Matriz do sistema:
- Termo não-homogêneo:
O que precisa ser encontrado:
- A solução geral
, ou seja a soma de uma solução geral da homogênea e de uma solução particular do não-homogêneo, obtida pelo método de variação de parâmetros.]
Passo 2
Primeiro resolvemos o sistema homogêneo associado
. Isso exige encontrar os autovalores e autovetores de
.
Calculamos o polinômio característico:
Expandindo:
Resolvendo
obtemos
Agora os autovetores.
Para
, resolvemos
:
Para
, resolvemos
:
Portanto duas soluções fundamentais do homogêneo são
A solução geral do homogêneo é
Passo 3
Explicando o método de variação de parâmetros (intuição e fórmula):
- Se
é a matriz fundamental cujas colunas são e , isto é
então procuramos uma solução particular da forma
, onde
é um vetor de funções a determinar.
- Substituindo em
e usando , obtemos a equação simples para :
- Logo
e então
. Finalmente
.
Essa é a versão matricial da variação de parâmetros para sistemas.
Essa é a versão matricial da variação de parâmetros para sistemas.
Passo 4
Monte a matriz fundamental
explicitamente (peguei as soluções fundamentais do Passo 2):
Calculamos
:
portanto
é invertível para todo
.
Agora o adjugado e a inversa. Para uma matriz
com entradas
, a inversa é
. Aplicando aqui:
Passo 5
Calculamos
com
.
Multiplicando:
Calculando cada componente:
Passo 6
Integramos para obter
. Integração termo a termo:
Ao construir uma solução particular podemos escolher
(qualquer constante diferente apenas adicionaria uma combinação linear das soluções homogêneas). Assim uma escolha conveniente é
Passo 7
Agora obtemos a solução particular
. Multiplicando colunas:
Calculamos as componentes para ficar explícito.
Componente 1:
Componente 2:
Assim uma forma explícita para a solução particular é
Passo 8
A solução geral do sistema é a soma da solução homogênea e da particular:
Substituindo as expressões encontradas:
onde
são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais.]