Resolva o seguinte Problema de Valor Inicial:
ll d yd x=x^2y^4, y(0)=1 y= função de x) çã

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. A gente precisa achar a função que satisfaz a equação e que passa pelo ponto . Para isso, vamos usar métodos de separação de variáveis e integrar ambos os lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis dydx = x^2y^4 e y^4 , dy = x^2 , dx . A equação está assim:
Vamos multiplicar ambos os lados por para juntar os termos de de um lado e os de do outro:
Agora, as variáveis estão separadas, o que facilita a integração.

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados dessa equação. Do lado esquerdo, integramos em relação a integral y^4 , dy = integral x^2 , dx , e do lado direito, em relação a 15y^5 = 13x^3 + C :
A integração de em relação a é , e a de em relação a é . Assim, temos:
onde é a constante de integração.

Passo 4

Agora, usamos a condição inicial 15(1)^5 = 13(0)^3 + C Rightarrow 15 = C para encontrar o valor de . Substituindo e na equação:
Então, a constante .

Passo 5

Com o valor de 15y^5 = 13x^3 + 15 conhecido, substituímos de volta na equação:
y^5 = 53x^3 + 1
Multiplicando tudo por 5 para simplificar:
y = ( 53x^3 + 1 )^15
Finalmente, resolvemos para tirando a quinta raiz de ambos os lados:

Resposta

A solução do problema é:
y(x) = ( 53x^3 + 1 )^15

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