Resolva o seguinte Problema de Valor Inicial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. A gente precisa achar a função
que satisfaz a equação
e que passa pelo ponto
. Para isso, vamos usar métodos de separação de variáveis e integrar ambos os lados da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis
e
. A equação está assim:
Vamos multiplicar ambos os lados por
para juntar os termos de
de um lado e os de
do outro:
Agora, as variáveis estão separadas, o que facilita a integração.
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados dessa equação. Do lado esquerdo, integramos em relação a
, e do lado direito, em relação a
:
A integração de
em relação a
é
, e a de
em relação a
é
. Assim, temos:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
na equação:
Então, a constante
.
Passo 5
Com o valor de
conhecido, substituímos de volta na equação:
Multiplicando tudo por 5 para simplificar:
Finalmente, resolvemos para
tirando a quinta raiz de ambos os lados:
Resposta
A solução do problema é: