Ache a solução particular dos problemas de valor inicial abaixo, usando EDO Separável:
(f) e^2 x y^prime=2(x+2) y^3, y(0)=1 / raiz5

Passo 1

O enunciado nos pede para achar a solução particular da EDO separável e^2xy'=2(x+2)y^3 com condição inicial y(0)=1/raiz5. Vamos usar separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro, isolamos a derivada e separamos variáveis. Da equação original vem<br> y'=2(x+2)y^3e^-2x<br>e assim<br> dyy^3=2(x+2)e^-2x,dx.

Passo 3

Agora integramos cada lado. À esquerda temos<br> integral y^-3,dy=-12y^2+C1<br>No lado direito integramos por partes em integral2(x+2)e^-2xdx e obtemos<br> integral2(x+2)e^-2xdx=-e^-2xl(x+tfrac52r)+C2<br>Logo a solução implícita é<br> -12y^2=-e^-2xl(x+tfrac52r)+C

Passo 4

Isolando 1/y^2 e renomeando a constante, fica<br> 1y^2=e^-2x(2x+5)+C3<br>Agora aplicamos a condição inicial y(0)=1/raiz5. Em x=0 temos 1/y^2=5 e também e^0(2·0+5)+C3=5+C3, logo C3=0.

Passo 5

Com isso sobram<br> 1y^2=e^-2x(2x+5),<br>ou seja y^2=e^2x2x+5. Como y(0)>0, tomamos a raiz positiva e obtemos:
y(x)=e^xraiz2x+5

Resposta

y(x)=e^xraiz2x+5

Exercícios relacionados