Resolva o seguinte problema de valor inicial:
 
para 
  e 
  usando o método de Euler.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse problema de valor inicial usando o Método de Euler. O enunciado nos dá uma equação diferencial:
Queremos encontrar a solução para 
  no intervalo 
  com um passo 
 . Para isso, vamos precisar entender o que é o Método de Euler e como aplicá-lo passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Método de Euler. É uma técnica numérica para aproximar soluções de equações diferenciais ordinárias (EDOs). A ideia é usar uma linha tangente para estimar o valor da função no próximo ponto.
A fórmula do Método de Euler é:
Onde:
- 
é o valor atual da função.  - 
é o tamanho do passo.  - 
é a derivada da função no ponto atual.  
Passo 3
Vamos organizar nossos dados:
- 
Passo inicial (
): - 
 - 
(valor inicial dado)  
 - 
 - 
Passo final:
 - 
 
Precisamos calcular 
  para 
 .
Passo 4
Primeiro Passo (
 ):
Calculamos 
 :
Onde 
 .
Substituindo:
Então:
Passo 5
Segundo Passo (
 ):
Agora, calculamos 
 :
Com 
  e 
 :
Então:
Passo 6
Terceiro Passo (
 ):
Vamos calcular 
 :
Com 
  e 
 :
Calculando passo a passo:
- 
 - 
 - Então:
 
Então:
Passo 7
Quarto Passo (
 ):
Finalmente, calculamos 
 :
Com 
  e 
 :
Calculando passo a passo:
- 
 - 
 - Então:
 
Então:
Resposta
Após aplicar o Método de Euler com passo 
 , a aproximação para 
  é aproximadamente 1.0141.