Resolva o seguinte Problema de Valor Inicial (PVI):
a) Determine a solução.
b) Qual o intervalo de validade?
c) Para quais valores de
a solução é crescente ou decrescente?
b) Qual o intervalo de validade?
c) Para quais valores de
Passo 1
O problema é um PVI dado por
O conteúdo é EDO de primeira ordem com separação de variáveis; vamos usar esse método para encontrar a solução.
Passo 2
Separamos as variáveis:
Integramos ambos os lados:
Exponenciando, vem
Como
, temos
e, portanto,
Passo 3
A função
é contínua e satisfaz condição de Lipschitz em
para todo
, logo a solução existe e é única em
Passo 4
Calculando a derivada da solução:
Isso mostra que
é estritamente crescente em
e não há intervalo em que seja decrescente.
Resposta
a)
b)
c) crescente para todo ; não há decrescência.
b)
c) crescente para todo