Resolva o seguinte Problema de Valor Inicial (PVI):
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}=y \\\ y(0)=1 \end{array}\right.
a) Determine a solução.
b) Qual o intervalo de validade?
c) Para quais valores de x a solução é crescente ou decrescente?

Passo 1

O problema é um PVI dado por
\begin{cases} y' = y,\\\ y(0)=1. \end{cases}
O conteúdo é EDO de primeira ordem com separação de variáveis; vamos usar esse método para encontrar a solução.

Passo 2

Separamos as variáveis:
\frac{dy}{y} = dx.
Integramos ambos os lados:
\ln|y| = x + C.
Exponenciando, vem
y = Ce^x.
Como y(0)=1, temos C=1 e, portanto,
y = e^x.

Passo 3

A função f(x,y)=y é contínua e satisfaz condição de Lipschitz em y para todo x\in\mathbb{R}, logo a solução existe e é única em
(-\infty,\infty).

Passo 4

Calculando a derivada da solução:
y' = y = e^x > 0\quad\forall x\in\mathbb{R}.
Isso mostra que y é estritamente crescente em \mathbb{R} e não há intervalo em que seja decrescente.

Resposta

a) \displaystyle y=e^x
b) (-\infty,\infty)
c) crescente para todo x\in\mathbb{R}; não há decrescência.

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