Encontre a solução geral das equações diferenciais:
y^{\prime}=\frac{y}{x}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
y' = \frac{y}{x}.
Trata-se de uma EDO de variáveis separáveis. Vamos separar as variáveis y e x e depois integrar ambos os lados.

Passo 2

Escrevemos y'=\frac{dy}{dx} e separamos as variáveis, isolando y num lado e x no outro:
\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{y}\,dy = \frac{1}{x}\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int \frac{1}{x}\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln\bigl|y\bigr| = \ln\bigl|x\bigr| + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Para eliminar o logaritmo, elevamos e em ambos os lados:
\bigl|y\bigr| = e^{\ln|x|+C} = e^C\,e^{\ln|x|} = K\,|x|,
onde K=e^C é uma nova constante positiva. Como y pode ser positivo ou negativo, absorvemos o sinal em K, deixando K\in\mathbb{R}.

Passo 5

Concluímos que a solução geral é
y = K\,x,
com K constante real.

Resposta

y = C\,x,\quad C\in\mathbb{R}.

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