Resolva o seguinte sistema (com adaptações não lineares):
\left\{\begin{aligned} \log _{2}(x+y+z) & =0 \\\ \log _{y}(x+z) & =1 . \\\ \log _{3} 5+\log _{3} x & =\log _{3}(y-z)\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o seguinte sistema de equações envolvendo logaritmos:
\left\{ \begin{aligned} \log_{2}(x+y+z) &= 0,\\[4pt] \log_{y}(x+z) &= 1,\\[4pt] \log_{3}5+\log_{3}x &= \log_{3}(y-z). \end{aligned} \right.
O que o problema pede: encontrar todos os triângulos (x,y,z) (isto é, todos os tripletos de números reais x,y,z) que satisfazem simultaneamente essas três igualdades.
Informações relevantes dadas pelo enunciado (diretamente extraídas das equações):
  • A primeira equação dá uma relação entre x+y+z.
  • A segunda relaciona x+z com a base do logaritmo y.
  • A terceira é uma soma de logaritmos na base 3, envolvendo x e y-z.
Também é importante observar as restrições de domínio impostas pelos logaritmos (essas restrições vêm do enunciado, pois logaritmos só fazem sentido para certos valores — veja passo seguinte para a explicação detalhada).]

Passo 2

Lembrete importante sobre logaritmos (aulas mastigadas):
  • A expressão \log_a b está definida somente se a>0, a\neq 1 e b>0. Aqui:
    • a é a base do logaritmo;
    • b é o argumento do logaritmo.
  • Propriedade usada com frequência: para mesma base a, \log_a M + \log_a N = \log_a(MN),desde que M>0 e N>0.
  • Outra ideia útil: \log_a b = c é equivalente a b=a^c.
Aplicando isso ao nosso sistema, já temos restrições de domínio:
  • Da equação \log_{2}(x+y+z)=0 segue que x+y+z>0 (além de base 2 ser válida).
  • Da equação \log_{y}(x+z)=1 segue que y>0, y\neq 1 e x+z>0.
  • Da equação \log_{3}5+\log_{3}x=\log_{3}(y-z) segue que x>0 e y-z>0 (e base 3 é válida).
    Resumindo as restrições que vão valer durante a resolução:
x>0,\qquad y>0,\\ y\neq 1,\qquad x+z>0,\qquad y-z>0,\qquad x+y+z>0.

Passo 3

Converter as equações logarítmicas em igualdades algébricas simples usando \log_a b = c \Leftrightarrow b=a^c e a propriedade de soma de logaritmos:
  1. Da primeira equação:
\log_{2}(x+y+z)=0 \quad\Longrightarrow\quad x+y+z=2^{0}=1.
  1. Da segunda equação:
\log_{y}(x+z)=1 \quad\Longrightarrow\quad x+z=y^{1}=y.
  1. Na terceira, aplicar a propriedade da soma:
\log_{3}5+\log_{3}x=\log_{3}(5x),
então a equação \log_{3}5+\log_{3}x=\log_{3}(y-z) torna-se
\log_{3}(5x)=\log_{3}(y-z).
Como a função \log_{3} é injetora (monótona), isso implica
5x = y-z,
sendo válido somente se 5x>0 e y-z>0 — o que reforça x>0 e y-z>0.
Portanto temos o sistema equivalente e algébrico:
\begin{cases} x+y+z=1,\\[4pt] x+z=y,\\[4pt] 5x=y-z, \end{cases}
com as restrições de domínio já listadas.]

Passo 4

Resolver o sistema algébrico simples por substituição, passo a passo e bem mastigado:
Da segunda equação x+z=y. Substituir essa expressão na primeira equação x+y+z=1:
x + (x+z) + z = 1.
Agrupando termos:
2x + 2z = 1.
Dividindo por 2:
x+z = \tfrac{1}{2}.
Mas pela segunda equação já temos y = x+z. Portanto
y = \tfrac{1}{2}.
Agora use a terceira equação 5x = y - z. Como y = \tfrac{1}{2}, essa equação fica
5x = \tfrac{1}{2} - z.
Também sabemos x+z=\tfrac{1}{2}, então isolando z:
z = \tfrac{1}{2} - x.
Substituir esse z em 5x = \tfrac{1}{2} - z:
5x = \tfrac{1}{2} - (\tfrac{1}{2} - x).
Calcule o lado direito:
\tfrac{1}{2} - (\tfrac{1}{2} - x) = x.
Logo
5x = x.
Isolando x:
5x - x = 0 \quad\Longrightarrow\quad 4x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 0.
Em seguida, encontrar z e y:
z = \tfrac{1}{2} - x = \tfrac{1}{2} - 0 = \tfrac{1}{2},
y = \tfrac{1}{2}.
Assim a solução algébrica do sistema reduzido seria o triplo
(x,y,z) = \left(0,\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right).

Passo 5

Verificar domínio e consistência final (passo crucial — sempre cheque se a solução respeita as restrições dos logaritmos).
Lembrando as restrições: precisamos de x>0 (para \log_{3}x existir). A solução encontrada tem x=0, que não satisfaz x>0. Portanto o candidato \left(0,\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right) NÃO é admissível no sistema original porque torna \log_{3}x indefinido.
Não existe outra solução possível, porque a resolução algébrica levou unicamente a x=0 (a partir das três equações reescritas). Como essa única possibilidade viola o domínio dos logaritmos, concluímos que não há solução real que satisfaça simultaneamente todas as equações dadas.

Resposta

Não existe solução real para o sistema (nenhum triplo (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 satisfaz todas as equações).

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