O que o problema pede: encontrar todos os triângulos (x,y,z) (isto é, todos os tripletos de números reais x,y,z) que satisfazem simultaneamente essas três igualdades.
Informações relevantes dadas pelo enunciado (diretamente extraídas das equações):
A primeira equação dá uma relação entre x+y+z.
A segunda relaciona x+z com a base do logaritmo y.
A terceira é uma soma de logaritmos na base 3, envolvendo x e y-z.
Também é importante observar as restrições de domínio impostas pelos logaritmos (essas restrições vêm do enunciado, pois logaritmos só fazem sentido para certos valores — veja passo seguinte para a explicação detalhada).]
Passo 2
Lembrete importante sobre logaritmos (aulas mastigadas):
A expressão \log_a b está definida somente se a>0, a\neq 1 e b>0. Aqui:
a é a base do logaritmo;
b é o argumento do logaritmo.
Propriedade usada com frequência: para mesma base a,\log_a M + \log_a N = \log_a(MN),desde que M>0 e N>0.
Outra ideia útil: \log_a b = c é equivalente a b=a^c.
Aplicando isso ao nosso sistema, já temos restrições de domínio:
Da equação \log_{2}(x+y+z)=0 segue que x+y+z>0 (além de base 2 ser válida).
Da equação \log_{y}(x+z)=1 segue que y>0, y\neq 1 e x+z>0.
Da equação \log_{3}5+\log_{3}x=\log_{3}(y-z) segue que x>0 e y-z>0 (e base 3 é válida).
Resumindo as restrições que vão valer durante a resolução:
Verificar domínio e consistência final (passo crucial — sempre cheque se a solução respeita as restrições dos logaritmos).
Lembrando as restrições: precisamos de x>0 (para \log_{3}x existir). A solução encontrada tem x=0, que não satisfaz x>0. Portanto o candidato \left(0,\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right) NÃO é admissível no sistema original porque torna \log_{3}x indefinido.
Não existe outra solução possível, porque a resolução algébrica levou unicamente a x=0 (a partir das três equações reescritas). Como essa única possibilidade viola o domínio dos logaritmos, concluímos que não há solução real que satisfaça simultaneamente todas as equações dadas.
Resposta
Não existe solução real para o sistema (nenhum triplo (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 satisfaz todas as equações).