Determine x e y de modo que se tenha:
x\left(\begin{array}{cc} 1 & \frac{y}{2} \\\ x & 0 \end{array}\right)+y\left(\begin{array}{cc} 1 & \frac{x}{2} \\\\ -1 & 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} -6 & 8 \\\\ 8 & 0 \end{array}\right) .

Passo 1

O enunciado pede: determinar x e y tais que a igualdade entre matrizes abaixo seja verdadeira:
x\left(\begin{array}{cc} 1 & \dfrac{y}{2} \\\ x & 0 \end{array}\right)+y\left(\begin{array}{cc} 1 & \dfrac{x}{2} \\\\ -1 & 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} -6 & 8 \\\\ 8 & 0 \end{array}\right).
Informações dadas que vamos usar:
  • As duas matrizes à esquerda dependem dos incógnitos x e y.
  • A matriz à direita é \displaystyle \begin{pmatrix}-6 & 8\\[4pt]8 & 0\end{pmatrix}.
    O que é pedido: os valores numéricos de x e y que tornam essa igualdade verdadeira.]

Passo 2

Relembrando regras básicas que vamos aplicar (rapidinho, tipo checklist):
  • Multiplicação de um escalar por uma matriz: o escalar multiplica cada entrada da matriz. Por exemplo, a\begin{pmatrix}m_{11}&m_{12}\m_{21}&m_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a m_{11}&a m_{12}\a m_{21}&a m_{22}\end{pmatrix}.
  • Soma de matrizes: soma-se entrada a entrada.
  • Igualdade de matrizes: duas matrizes são iguais se, e somente se, todas as entradas correspondentes forem iguais. Portanto podemos igualar cada posição (1,1), (1,2), (2,1), (2,2) e obter um sistema de equações em x e y.
Vamos aplicar essas regras passo a passo para obter um sistema e resolvê-lo.

Passo 3

Multiplicando o escalar x pela primeira matriz (entrada a entrada):
x\left(\begin{array}{cc} 1 & \dfrac{y}{2} \\\ x & 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} x\cdot 1 & x\cdot \dfrac{y}{2} \\\ x\cdot x & x\cdot 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} x & \dfrac{xy}{2} \\\ x^{2} & 0 \end{array}\right).
Multiplicando o escalar y pela segunda matriz:
y\left(\begin{array}{cc} 1 & \dfrac{x}{2} \\\\ -1 & 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} y & \dfrac{xy}{2} \\\\ - y & 0 \end{array}\right).

Passo 4

Somando as duas matrizes obtidas:
\left(\begin{array}{cc} x & \dfrac{xy}{2} \\\ x^{2} & 0 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{cc} y & \dfrac{xy}{2} \\\\ - y & 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} x+y & \dfrac{xy}{2}+\dfrac{xy}{2} \\\ x^{2}-y & 0 \end{array}\right).
Simplificando a entrada (1,2):
\dfrac{xy}{2}+\dfrac{xy}{2}=xy.
Então a soma é
\left(\begin{array}{cc} x+y & xy \\\ x^{2}-y & 0 \end{array}\right).

Passo 5

Igualando essa matriz à matriz do enunciado, corresponde igualar cada entrada:
\left(\begin{array}{cc} x+y & xy \\\ x^{2}-y & 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} -6 & 8 \\\\ 8 & 0 \end{array}\right).
Isso gera o sistema de equações
\begin{cases} x+y=-6,\\[4pt] xy=8,\\[4pt] x^{2}-y=8. \end{cases}
(A equação da posição (2,2) é 0=0, que não acrescenta informação.)]

Passo 6

Usar as duas primeiras equações para achar candidatos: da primeira equação isolamos y:
y=-6-x.
Substituindo em \,xy=8:
x(-6-x)=8.
Isso é
-6x-x^{2}=8.
Passando tudo para o lado esquerdo:
x^{2}+6x+8=0.
Fatorando o trinomio:
x^{2}+6x+8=(x+2)(x+4)=0.
Logo as soluções para x são
x=-2\quad\text{ou}\quad x=-4.

Passo 7

Determinar y a partir de y=-6-x e verificar a terceira equação para cada candidato.
  • Se x=-2, então
y=-6-(-2)=-6+2=-4.
Verificação na terceira equação:
x^{2}-y = (-2)^{2}-(-4)=4+4=8,
que coincide com a exigida 8. Portanto (x,y)=(-2,-4) é solução válida.
  • Se x=-4, então
y=-6-(-4)=-6+4=-2.
Verificação na terceira equação:
x^{2}-y = (-4)^{2}-(-2)=16+2=18,
que NÃO é igual a 8. Logo (x,y)=(-4,-2) é rejeitado.
Portanto a única solução que satisfaz todas as entradas da igualdade de matrizes é x=-2 e y=-4.

Resposta

x=-2,\\ y=-4

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