Calcule o determinante das matrizes a seguir:
\left(\begin{array}{ccc}\cos (\theta) & -\operatorname{sen}(\theta) & 0 \\\ \operatorname{sen}(\theta) & \cos (\theta) & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right);

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
A=\begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\operatorname{sen}(\theta) & 0 \\\ \operatorname{sen}(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Informações dadas:
  • A matriz é 3\times3.
  • Os elementos usados são \cos(\theta) e \operatorname{sen}(\theta) (onde \theta é um parâmetro real qualquer).
  • Não há outros dados numéricos; a resposta deve ficar em função de \theta.

Passo 2

Vou explicar uma maneira prática de calcular determinantes de matrizes 3\times3: a regra de Sarrus. Para uma matriz genérica
M=\begin{pmatrix} a & b & c\\\ d & e & f\\\ g & h & i \end{pmatrix},
a regra de Sarrus diz que
\det(M)=a e i + b f g + c d h - (c e g + a f h + b d i).
Explicando: faz-se a soma dos produtos das três diagonais que descem para a direita e subtrai-se a soma dos produtos das três diagonais que sobem para a direita. Cada produto envolve exatamente três elementos, um de cada linha e coluna.

Passo 3

Agora aplico a regra de Sarrus à matriz A. Identificando os elementos:
a=\cos(\theta),\quad b=-\operatorname{sen}(\theta),\quad c=0,
d=\operatorname{sen}(\theta),\quad e=\cos(\theta),\quad f=0,
g=0,\quad h=0,\quad i=1.
Substituindo esses valores na fórmula de Sarrus:
\det(A)=a e i + b f g + c d h - (c e g + a f h + b d i).
Agora calculo termo a termo (mostrando cada produto):
  • a e i = \cos(\theta)\cdot\cos(\theta)\cdot 1 = \cos^2(\theta).
  • b f g = -\operatorname{sen}(\theta)\cdot 0 \cdot 0 = 0.
  • c d h = 0\cdot\operatorname{sen}(\theta)\cdot 0 = 0.
  • c e g = 0\cdot\cos(\theta)\cdot 0 = 0.
  • a f h = \cos(\theta)\cdot 0 \cdot 0 = 0.
  • b d i = -\operatorname{sen}(\theta)\cdot\operatorname{sen}(\theta)\cdot 1 = -\operatorname{sen}^2(\theta).
Agora somo e subtraio conforme a fórmula:
\det(A)=\big(\cos^2(\theta)+0+0\big)-\big(0+0+(-\operatorname{sen}^2(\theta))\big).
Simplificando os parênteses:
\det(A)=\cos^2(\theta)-\big(-\operatorname{sen}^2(\theta)\big)=\cos^2(\theta)+\operatorname{sen}^2(\theta).

Passo 4

Uso a identidade trigonométrica fundamental (identidade pitagórica):
\cos^2(\theta)+\operatorname{sen}^2(\theta)=1
para qualquer \theta. Essa identidade vem da definição de seno e cosseno no triângulo retângulo ou da unidade circular: as coordenadas (\cos\theta,\operatorname{sen}\theta) estão sobre a circunferência de raio 1, logo a soma dos quadrados é 1.
Aplicando-a ao resultado obtemos
\det(A)=1.

Resposta

1

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