Resolva o seguinte sistema:
\begin{aligned} & 3 \log _{y}\left(\sqrt{x} \log _{y} x\right)=56 \\ & \log _{\log _{y} x}(x)=54 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá um sistema de equações logarítmicas em x\) e \(y\): \[\begin{cases} 3 \log_{y}\bigl(\sqrt{x}\,\log_{y}x\bigr)=56,\\\ \log_{\log_{y}x}(x)=54. \end{cases}
O conteúdo principal aqui é manipular logaritmos usando mudança de base e propriedades de logaritmo. Para simplificar, vamos introduzir uma nova variável que elimine a dependência mútua de x\] e \(y.

Passo 2

Defina
a = \log_{y}x.
Então \log_{y}x = a e a segunda equação
\log_{\log_{y}x}(x)=54
fica
\log_{a}x = 54.
Pela mudança de base,
\log_{a}x = \frac{\ln x}{\ln a} = 54 \quad\Longrightarrow\quad \ln x = 54\,\ln a.
Além disso, como a = \ln x/\ln y, temos
\ln y = \frac{\ln x}{a} = \frac{54\,\ln a}{a} \quad\Longrightarrow\quad \log_{y}a = \frac{\ln a}{\ln y} = \frac{a}{54}.

Passo 3

Agora reescrevemos a primeira equação
3 \log_{y}\bigl(\sqrt{x}\,\log_{y}x\bigr)=56.
Como \sqrt{x}=x^{1/2} e \log_{y}x=a, vale
\log_{y}\bigl(\sqrt{x}\,a\bigr) = \log_{y}\bigl(x^{1/2}\bigr) + \log_{y}a = \tfrac12\,\log_{y}x + \log_{y}a = \tfrac12\,a + \log_{y}a.
Multiplicando por 3 e igualando a 56, obtemos
3\Bigl(\tfrac12\,a + \log_{y}a\Bigr) = 56 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac32\,a + 3\,\log_{y}a = 56.
Substituindo \log_{y}a = a/54 resulta
\tfrac32\,a + 3\cdot\frac{a}{54} = 56 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{27a + a}{18} = 56 \quad\Longrightarrow\quad \frac{28a}{18} = 56 \quad\Longrightarrow\quad a = 36.

Passo 4

Sabendo a=36, voltamos às definições:
a = \log_{y}x \quad\Longrightarrow\quad y^{36} = x,
e também da segunda equação tínhamos \ln x = 54\,\ln a, logo
x = a^{54} = 36^{54}.
Igualando as duas expressões de x,
y^{36} = 36^{54} \quad\Longrightarrow\quad y = 36^{54/36} = 36^{3/2} = 6^3 = 216.
E então x = 36^{54} (ou 6^{108}).

Resposta

x = 36^{54} e y = 216.

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