O sistema de equações
\begin{array}{r} \log _{10}(2000 \mathrm{xy})-\left(\log _{10} \mathrm{x}\right)\left(\log _{10} \mathrm{y}\right)=4 \\\ \log _{10}(20 \mathrm{yz})-\left(\log _{10} \mathrm{y}\right)\left(\log _{10} \mathrm{z}\right)=1 \\\ \log _{10}(\mathrm{zx})-\left(\log _{10} \mathrm{z}\right)\left(\log _{10} \mathrm{x}\right)=0 \end{array}

Passo 1

O enunciado dá um sistema de três equações em x,y,z>0\) envolvendo logaritmos de base 10: \[\begin{cases} \log_{10}(2000\,xy)-(\log_{10}x)(\log_{10}y)=4,\\\ \log_{10}(20\,yz)-(\log_{10}y)(\log_{10}z)=1,\\\ \log_{10}(z\,x)-(\log_{10}z)(\log_{10}x)=0. \end{cases}
O conteúdo é manipulação de logaritmos e solução de sistema não-linear. Vamos usar as propriedades de logaritmo para escrever tudo em funções de a=\log_{10}x\], \(b=\log_{10}y, c=\log_{10}z e depois resolver o sistema resultante.

Passo 2

Define
a=\log_{10}x,\quad b=\log_{10}y,\quad c=\log_{10}z.
Use \log_{10}(k\,uv)=\log_{10}k+ \log_{10}u+\log_{10}v e reescreva cada equação:
  1. \log_{10}(2000\,xy)=\log_{10}2000 +a+b,
  2. \log_{10}(20\,yz)=\log_{10}20 +b+c,
  3. \log_{10}(z\,x)=c+a.

Passo 3

Calcule \log_{10}2000 e \log_{10}20:
\log_{10}2000 = \log_{10}(2\cdot10^3)=\log_{10}2+3\approx0{,}3010+3=3{,}3010,
\log_{10}20 = \log_{10}(2\cdot10)=\log_{10}2+1\approx0{,}3010+1=1{,}3010.
Substituindo nas equações:
\begin{cases} 3{,}3010 +a+b -ab =4,\\\\ 1{,}3010 +b+c -bc =1,\\\ c+a -ca =0. \end{cases}

Passo 4

Rearranje cada uma para fatorar:
  1. 3{,}3010 +a+b -ab =4 a+b -ab =0{,}6990.
    Escrevendo 0{,}6990=1-0{,}3010 e reorganizando:
ab -a -b = -0{,}6990 \quad\Longrightarrow\quad ab -a -b +1 =0{,}3010 \quad\Longrightarrow\quad (a-1)(b-1)=0{,}3010.
  1. 1{,}3010 +b+c -bc =1 b+c -bc = -0{,}3010.
bc -b -c =0{,}3010 \quad\Longrightarrow\quad (b-1)(c-1)=1{,}3010.
  1. c+a -ca =0 ca -a -c =0.
(c-1)(a-1)=1.

Passo 5

Para simplificar, ponha
p=a-1,\quad q=b-1,\quad r=c-1.
Então o sistema em (p,q,r) é
pq =0{,}3010,\quad qr =1{,}3010,\quad rp =1.

Passo 6

Da terceira equação rp=1 vem r=1/p.
Da primeira pq=0{,}3010 vem q=0{,}3010/p.
Substitua em qr=1{,}3010:
\frac{0{,}3010}{p}\cdot\frac1{p}=1{,}3010 \quad\Longrightarrow\quad \frac{0{,}3010}{p^2}=1{,}3010 \quad\Longrightarrow\quad p^2=\frac{0{,}3010}{1{,}3010}\approx0{,}2314,
logo
p=\pm\sqrt{0{,}2314}\approx\pm0{,}4811.
Em cada caso:
q=\frac{0{,}3010}{p}\approx\pm0{,}6258, \quad r=\frac1{p}\approx\pm2{,}0781,
com o mesmo sinal escolhido para p.

Passo 7

Recupere a,b,c e depois x,y,z:
a=1+p,\quad b=1+q,\quad c=1+r,
x=10^a,\quad y=10^b,\quad z=10^c.
Para p=+0{,}4811:
(a,b,c)\approx(1{,}4811,\,1{,}6258,\,3{,}0781), \quad (x,y,z)\approx(10^{1{,}4811},\,10^{1{,}6258},\,10^{3{,}0781}) \approx(30{,}3,\;42{,}3,\;1200).
Para p=-0{,}4811:
(a,b,c)\approx(0{,}5189,\,0{,}3742,\,-1{,}0781), \quad (x,y,z)\approx(10^{0{,}5189},\,10^{0{,}3742},\,10^{-1{,}0781}) \approx(3{,}31,\;2{,}37,\;0{,}0835).

Resposta

As soluções positivas do sistema são aproximadamente
(x,y,z)\approx(30{,}3,\;42{,}3,\;1200) \quad\text{ou}\quad (x,y,z)\approx(3{,}31,\;2{,}37,\;0{,}0835).

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