O enunciado pede para resolver o sistema de EDOs de primeira ordem: dx/dt=2t, dy/dt=3x+2t e dz/dt=x+4y+t. O conteúdo aqui é integração direta de equações diferenciais ordinárias acopladas; vamos precisar integrar passo a passo, encontrando as constantes de integração.
Passo 2
Começamos por x(t). Como dx/dt=2t, integramos em relação a t:
x(t)=integral 2t,dt=t^2+C1
Aqui C1 é uma constante arbitrária.
Passo 3
Agora usamos x(t) para resolver dy/dt=3x+2t. Substituindo x=t^2+C1 temos
dydt=3(t^2+C1)+2t=3t^2+2t+3C1
Integramos:
y(t)=integral(3t^2+2t+3C1),dt=t^3+t^2+3C1t+C2
onde C2 é a segunda constante de integração.
Passo 4
Finalmente, resolvemos dz/dt=x+4y+t. Substituindo x(t) e y(t) obtemos