Resolva o seguinte sistema de equações.
ld xd t=2 t d yd t=3 x+2 t d zd t=x+4 y+t

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de EDOs de primeira ordem: dx/dt=2t, dy/dt=3x+2t e dz/dt=x+4y+t. O conteúdo aqui é integração direta de equações diferenciais ordinárias acopladas; vamos precisar integrar passo a passo, encontrando as constantes de integração.

Passo 2

Começamos por x(t). Como dx/dt=2t, integramos em relação a t:
x(t)=integral 2t,dt=t^2+C1
Aqui C1 é uma constante arbitrária.

Passo 3

Agora usamos x(t) para resolver dy/dt=3x+2t. Substituindo x=t^2+C1 temos
dydt=3(t^2+C1)+2t=3t^2+2t+3C1
Integramos:
y(t)=integral(3t^2+2t+3C1),dt=t^3+t^2+3C1t+C2
onde C2 é a segunda constante de integração.

Passo 4

Finalmente, resolvemos dz/dt=x+4y+t. Substituindo x(t) e y(t) obtemos
dzdt=(t^2+C1)+4l(t^3+t^2+3C1t+C2r)+t =4t^3+5t^2+(12C1+1)t+(C1+4C2)
Integramos para encontrar z(t):
z(t)=integrall(4t^3+5t^2+(12C1+1)t+(C1+4C2)r)dt =t^4+53t^3+12C1+12t^2+(C1+4C2)t+C3
onde C3 é a terceira constante de integração.

Resposta

As soluções gerais do sistema são
x(t)=t^2+C1, y(t)=t^3+t^2+3C1t+C2, z(t)=t^4+53t^3+12C1+12t^2+(C1+4C2)t+C3,
com C1,C2,C3 constantes arbitrárias.

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