Resolva o seguinte sistema de equações.
ld^2 xd t^2+x-d^2 yd t^2-y=-cos (2 t) 2 d xd t-d yd t-y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
d^2 xd t^2 + x - d^2 yd t^2 - y = -cos(2t), 2,d xd t - d yd t - y = 0
Conteúdo: equações diferenciais lineares acopladas. Vamos desacoplar obtendo primeiro uma relação entre y e as derivadas de x, depois derivar e substituir para ter uma única ODE em x.

Passo 2

Da segunda equação isolamos
y + y' = 2x'
e, a partir da primeira, expressamos y em função de x, x' e (x’’:
\
primeira:x’’ - x - (y’’ - y) = -\cos(2t)\Rightarrow x’’ - x + y’ - y = \cos(2t).
\
Usando y' = 2x' - y obtemos
y = tfrac12l(cos(2t) + x - x'' + 2x'r)

Passo 3

Derivando y + y' = 2x' e substituindo a expressão de y e suas derivadas na primeira equação, chegamos à ODE de terceira ordem em x:
x''' - x'' + x' - x = cos(2t) - 2sin(2t)

Passo 4

Resolvendo essa ODE:
– Equação característica r^3 - r^2 + r -1=0 tem raízes r=1,,i,,-i, logo
xh(t)=C1e^t+C2cos t+C3sin t
– Para o particular tentamos xp=Acos2t+Bsin2t e achamos
A=-tfrac15,;B=-tfrac415.

Passo 5

Finalmente, obtemos y(t) pela equação y'+y=2x':
– A parte homogênea de y é C4e^-t.
– Para o particular usamos coeficientes indeterminados e achamos
yp=-tfrac815cos2t-tfrac415sin2t.
Somando tudo fica a solução geral de y(t).

Resposta

A solução geral é:
x(t)=C1e^t+C2cos t+C3sin t-tfrac15cos(2t)-tfrac415sin(2t),
y(t)=C1e^t+(C2+C3)cos t+(C3-C2)sin t+C4e^-t-tfrac815cos(2t)-tfrac415sin(2t),
onde C1,C2,C3,C4 são constantes arbitrárias.

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