Resolva o seguinte sistema de equações.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema
Conteúdo: equações diferenciais lineares acopladas. Vamos desacoplar obtendo primeiro uma relação entre
e as derivadas de
, depois derivar e substituir para ter uma única ODE em
.
Passo 2
Da segunda equação isolamos
e, a partir da primeira, expressamos
em função de
,
e (x’’:
\
primeira:x’’ - x - (y’’ - y) = -\cos(2t)\Rightarrow x’’ - x + y’ - y = \cos(2t).
\
Usando obtemos
\
primeira:x’’ - x - (y’’ - y) = -\cos(2t)\Rightarrow x’’ - x + y’ - y = \cos(2t).
\
Usando
Passo 3
Derivando
e substituindo a expressão de
e suas derivadas na primeira equação, chegamos à ODE de terceira ordem em
:
Passo 4
Resolvendo essa ODE:
– Equação característica tem raízes
, logo
– Equação característica
– Para o particular tentamos
e achamos
.
Passo 5
Finalmente, obtemos
pela equação
:
– A parte homogênea de é
.
– Para o particular usamos coeficientes indeterminados e achamos
.
Somando tudo fica a solução geral de .
– A parte homogênea de
– Para o particular usamos coeficientes indeterminados e achamos
Somando tudo fica a solução geral de
Resposta
A solução geral é:
onde
são constantes arbitrárias.