Em cada caso, determine os pontos ordinários e singulares (regular ou irregular) para cada EDO.
(x-1) y^prime prime+(x^2-1) y^prime+(x-1)^2 y=0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para identificar os pontos ordinários e singulares de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem. A matéria que vamos usar aqui é a análise de pontos em EDOs lineares, focando em entender onde a equação se comporta normalmente (ponto ordinário) ou de forma especial (ponto singular). Para resolver isso, vamos precisar reorganizar a equação para a forma padrão e analisar os coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a EDO dada na forma padrão. A equação é:
(x-1) y'' + (x^2-1) y' + (x-1)^2 y = 0
Queremos que ela fique na forma:
y'' + P(x) y' + Q(x) y = 0
Para isso, dividimos todos os termos pelo coeficiente de y'', que é (x-1).

Passo 3

Dividindo cada termo por (x-1):
y'' + (x^2-1)(x-1) y' + (x-1)^2(x-1) y = 0
Vamos simplificar as frações:
  • (x^2-1)(x-1) = (x-1)(x+1)(x-1) = x + 1
  • (x-1)^2(x-1) = x - 1
Então, a equação fica:
y'' + (x + 1) y' + (x - 1) y = 0

Passo 4

Agora, identificamos os coeficientes:
  • P(x) = x + 1
  • Q(x) = x - 1
Para encontrar os pontos ordinários e singulares, olhamos para onde os coeficientes P(x) e Q(x) são analíticos, ou seja, não têm problemas como divisões por zero.

Passo 5

Observando os coeficientes originais antes da divisão, percebemos que o denominador (x-1) estava ligado ao coeficiente de y''. Se (x-1) = 0, ou seja, x = 1, teríamos uma divisão por zero ao tentar colocar a equação na forma padrão.
Isso indica que x = 1 é um ponto singular. Os outros pontos, onde x neq 1, são pontos ordinários.

Passo 6

Para verificar se o ponto singular x = 1 é regular ou irregular, analisamos se os coeficientes P(x)(x-1) e Q(x)(x-1) são analíticos em x = 1.
Calculando:
  • P(x)(x-1) = x + 1x - 1
  • Q(x)(x-1) = x - 1x - 1 = 1
Vemos que x + 1x - 1 não é analítica em x = 1 (pois ainda tem divisão por zero), então o ponto singular é irregular.

Resposta

O ponto x = 1 é um ponto singular irregular. Todos os demais pontos são pontos ordinários.

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