Em cada caso, determine os pontos ordinários e singulares (regular ou irregular) para cada EDO.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para identificar os pontos ordinários e singulares de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem. A matéria que vamos usar aqui é a análise de pontos em EDOs lineares, focando em entender onde a equação se comporta normalmente (ponto ordinário) ou de forma especial (ponto singular). Para resolver isso, vamos precisar reorganizar a equação para a forma padrão e analisar os coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a EDO dada na forma padrão. A equação é:
Queremos que ela fique na forma:
Para isso, dividimos todos os termos pelo coeficiente de
, que é
.
Passo 3
Dividindo cada termo por
:
Vamos simplificar as frações:
Então, a equação fica:
Passo 4
Agora, identificamos os coeficientes:
Para encontrar os pontos ordinários e singulares, olhamos para onde os coeficientes
e
são analíticos, ou seja, não têm problemas como divisões por zero.
Passo 5
Observando os coeficientes originais antes da divisão, percebemos que o denominador
estava ligado ao coeficiente de
. Se
, ou seja,
, teríamos uma divisão por zero ao tentar colocar a equação na forma padrão.
Isso indica que
é um ponto singular. Os outros pontos, onde
, são pontos ordinários.
Passo 6
Para verificar se o ponto singular
é regular ou irregular, analisamos se os coeficientes
e
são analíticos em
.
Calculando:
Vemos que
não é analítica em
(pois ainda tem divisão por zero), então o ponto singular é irregular.
Resposta
O ponto
é um ponto singular irregular. Todos os demais pontos são pontos ordinários.