Resolva o seguinte sistema de equações não-lineares para os ângulos incógnitos \alpha, \beta e \gamma, onde 0 \leq \alpha \leq 2 \pi, 0 \leq \beta \leq 2 \pi e 0 \leq \gamma<\pi.
\begin{aligned} & 2 \operatorname{sen} \alpha-\cos \beta+3 \operatorname{tg} \gamma=3 \\\ & 4 \operatorname{sen} \alpha+2 \cos \beta-2 \operatorname{tg} \gamma=2 \\\ & 6 \operatorname{sen} \alpha-3 \cos \beta+\operatorname{tg} \gamma=9 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema não linear em \alpha,\beta,\gamma
onde
\begin{aligned} 2\sin\alpha-\cos\beta+3\tan\gamma&=3,\\\\ 4\sin\alpha+2\cos\beta-2\tan\gamma&=2,\\\\ 6\sin\alpha-3\cos\beta+\tan\gamma&=9, \end{aligned}
com domínio \;0\le\alpha\le2\pi,\;0\le\beta\le2\pi,\;0\le\gamma<\pi.
Vamos usar a técnica de reduzir as funções trigonométricas a variáveis lineares.

Passo 2

Definimos
S=\sin\alpha,\quad C=\cos\beta,\quad T=\tan\gamma
e então o sistema vira
2S - C + 3T = 3,
4S + 2C - 2T = 2,
6S - 3C + T = 9.

Passo 3

Resolvendo esse sistema por eliminação:
multiplicamos a primeira equação por 2 e subtraímos a segunda, obtendo
-4C + 8T = 4 \quad\Longrightarrow\quad -C + 2T = 1 \quad\Longrightarrow\quad C = 2T - 1.
Substituindo em 2S - C + 3T = 3 achamos
2S = 3 + C - 3T = 3 + (2T-1) - 3T = 2 - T \quad\Longrightarrow\quad S = 1 - \frac{T}{2}.
Finalmente, inserindo S e C em 6S - 3C + T = 9
6\bigl(1 - \tfrac{T}{2}\bigr) - 3(2T-1) + T = 9 \;\Longrightarrow\; 9 - 8T = 9 \;\Longrightarrow\; T = 0.
Logo
T=0,\quad C=2\cdot0-1=-1,\quad S=1-\tfrac{0}{2}=1.

Passo 4

Voltando às variáveis originais e respeitando os domínios: \tan\gamma = 0 com 0\le\gamma<\pi implica \gamma = 0. \cos\beta = -1 com 0\le\beta\le2\pi implica \beta = \pi. \sin\alpha = 1 com 0\le\alpha\le2\pi implica \alpha = \tfrac{\pi}{2}.

Resposta

\displaystyle \alpha = \frac{\pi}{2},\quad \beta = \pi,\quad \gamma = 0

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