Resolva o seguinte sistema linear pelo método de Cramers:
x-2 y+z+5=0, \quad-2 x+3 y-10 z=6, \quad 2 y-5 x=-7

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
\begin{cases} x - 2y + z + 5 = 0,\\\\ -2x + 3y - 10z = 6,\\\\ 2y - 5x = -7, \end{cases}
que podemos reescrever na forma padrão
\begin{cases} \;1x -2y +1z = -5,\\\\ -2x +3y -10z = 6,\\\\ -5x +2y +0z = -7. \end{cases}
O conteúdo aqui é álgebra linear, mais precisamente o método de Cramer, que usa determinantes para resolver sistemas 3\times3.

Passo 2

Montamos a matriz dos coeficientes A e o vetor dos termos independentes \mathbf b:
A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1\\\\ -2 & 3 & -10\\\\ -5 & 2 & 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf b = \begin{pmatrix} -5\\\\ 6\\\\ -7 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o determinante D = \det(A) por expansão na primeira linha:
D = 1\cdot\det\begin{pmatrix}3 & -10\\\ 2 & 0\end{pmatrix} -(-2)\cdot\det\begin{pmatrix}-2 & -10\\\ -5 & 0\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}-2 & 3\\\ -5 & 2\end{pmatrix}.
Cada menor é
\det\begin{pmatrix}3 & -10\\\ 2 & 0\end{pmatrix} = 3\cdot0 - (-10)\cdot2 = 20,
\det\begin{pmatrix}-2 & -10\\\ -5 & 0\end{pmatrix} = (-2)\cdot0 - (-10)\cdot(-5) = -50,
\det\begin{pmatrix}-2 & 3\\\ -5 & 2\end{pmatrix} = (-2)\cdot2 - 3\cdot(-5) = 11.
Logo
D = 1\cdot20 -(-2)\cdot(-50) +1\cdot11 = 20 - 100 + 11 = -69.

Passo 4

Para x, substituímos a primeira coluna de A por \mathbf b e calculamos
D_x = \det\begin{pmatrix} -5 & -2 & 1\\\\ 6 & 3 & -10\\\\ -7 & 2 & 0 \end{pmatrix} = -207.
Pelo método de Cramer,
x = \frac{D_x}{D} = \frac{-207}{-69} = 3.

Passo 5

Para y, substituímos a segunda coluna de A por \mathbf b e calculamos
D_y = \det\begin{pmatrix} 1 & -5 & 1\\\\ -2 & 6 & -10\\\\ -5 & -7 & 0 \end{pmatrix} = -276,
portanto
y = \frac{D_y}{D} = \frac{-276}{-69} = 4.

Passo 6

Para z, substituímos a terceira coluna de A por \mathbf b e calculamos
D_z = \det\begin{pmatrix} 1 & -2 & -5\\\\ -2 & 3 & 6\\\\ -5 & 2 & -7 \end{pmatrix} = 0,
e então
z = \frac{D_z}{D} = \frac{0}{-69} = 0.

Resposta

x = 3,\; y = 4,\; z = 0.

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