- Um sistema de equações lineares pode ou não ter solução. Quando ele possui solução, esta pode ser única ou podem existir infinitas diferentes soluções. Quais são as condições que garantem que um sistema de equações lineares possui solução e quando esta solução será única? Um sistema linear pode ter exatamente 5 soluções diferentes?
Passo 1
O enunciado trata de um sistema linear da forma
onde
é a matriz de coeficientes,
o vetor de incógnitas e
o vetor de termos independentes. O conteúdo principal é o conceito de posto de uma matriz e como ele determina existência e unicidade de soluções.
Passo 2
Para que o sistema
tenha solução, é necessário e suficiente que o posto da matriz de coeficientes seja igual ao posto da matriz aumentada. Em notação:
Se
, as equações são inconsistentes e não há solução.
Passo 3
Quando
, o sistema tem pelo menos uma solução. Para que essa solução seja única, precisamos que o posto atinja o número de incógnitas. Se
é a quantidade de variáveis em
, então a condição para unicidade é
Nesse caso não sobra “grau de liberdade” e existe exatamente uma solução.
Passo 4
Se, ainda satisfazendo
, tivermos
então o espaço das soluções tem dimensão
. Isso significa que há infinitas soluções, pois restam
parâmetros livres.
Passo 5
Não é possível que um sistema linear tenha exatamente cinco soluções. Ou ele não tem solução, ou tem uma única, ou então um número infinito de soluções. Isso decorre do fato de que o conjunto solução, quando não é vazio e não é um ponto, forma um espaço afim de dimensão positiva, que contém infinitos pontos.
Resposta
As condições são:
• O sistema tem solução se, e somente se, .
• A solução é única se, além disso, for igual ao número de incógnitas
.
• Caso , o sistema possui infinitas soluções.
Não há como ter exatamente cinco soluções, pois o conjunto de soluções de um sistema linear é vazio, um ponto ou um espaço infinito de dimensão .
• O sistema tem solução se, e somente se,
• A solução é única se, além disso,
• Caso
Não há como ter exatamente cinco soluções, pois o conjunto de soluções de um sistema linear é vazio, um ponto ou um espaço infinito de dimensão