\begin{aligned} 2 x+y+w-3 z & =-13 \\\\ 4 y+2 z-x-w & =1 \\\\ 3 x+y-2 w & =9 \\\ x+y+z+w & =-2 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear de quatro equações e quatro incógnitas x,y,z,w:
\begin{aligned} 2x + y + w - 3z &= -13,\\\\ -\,x + 4y + 2z - w &= 1,\\\\ 3x + y - 2w &= 9,\\\ x + y + z + w &= -2.
O conteúdo é Álgebra Linear, e vamos usar Eliminação de Gauss para triangularizar o sistema e depois fazer back-substitution.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e eliminamos x das equações 2, 3 e 4 usando combinações lineares com a equação 1:
\left(\begin{array}{cccc|c} 2 & 1 & -3 & 1 & -13\\\\ -1 & 4 & 2 & -1 & 1\\\\ 3 & 1 & 0 & -2 & 9\\\\ 1 & 1 & 1 & 1 & -2 \end{array}\right) \;\xrightarrow{R_2\!+\frac12R_1,\;R_3\!-\frac32R_1,\;R_4\!-\frac12R_1}\; \begin{cases} 9y + z - w = -11,\\\\ -\,y + 9z - 7w = 57,\\\ y + 5z + w = 9. \end{cases}

Passo 3

Agora eliminamos y das duas últimas equações do sistema 3\times 3. A partir de
9y + z - w = -11
usamos operações sobre as outras duas para obter um sistema somente em z,w:
\begin{cases} 22z + 5w = 46,\\\\ 41z - 32w = 251. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo esse sistema 2\times 2:
Multiplicando a primeira por 32 e a segunda por 5 e somando, obtemos
909z = 2727\;\implies\;z = 3.
Substituindo em 22z + 5w = 46:
66 + 5w = 46\;\implies\;5w = -20\;\implies\;w = -4.

Passo 5

Fazendo back-substitution em 9y + z - w = -11:
9y + 3 - (-4) = -11\;\implies\;9y +7 = -11\;\implies\;9y = -18\;\implies\;y = -2.
Por fim, em x + y + z + w = -2:
x -2 + 3 -4 = -2\;\implies\;x -3 = -2\;\implies\;x = 1.

Resposta

x = 1,\quad y = -2,\quad z = 3,\quad w = -4

Exercícios relacionados