Resolva o seguinte sistema linear utilizando o Método de Jacobi (3 iterações) com x^{(0)}=[0,0,0]^{T}.
\left\{\begin{array}{l} 4 x_{1}+x_{2}+x_{3}=8 \\ x_{1}+5 x_{2}+2 x_{3}=10 \\ x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}=12 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o seguinte sistema linear e pede para aplicar o Método de Jacobi por 3 iterações, partindo do vetor inicial \,x^{(0)}=[0,0,0]^T:
\left\{\begin{array}{l} 4 x_{1}+x_{2}+x_{3}=8,\\[4pt] x_{1}+5 x_{2}+2 x_{3}=10,\\[4pt] x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}=12. \end{array}\right.
Informações relevantes fornecidas:
A=\begin{pmatrix}4 & 1 & 1\\[4pt]1 & 5 & 2\\[4pt]1 & 2 & 3\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}8\\[4pt]10\\[4pt]12\end{pmatrix},\qquad x^{(0)}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix},
e a tarefa é obter x^{(1)},x^{(2)},x^{(3)} usando Jacobi (três iterações).]

Passo 2

Apresento a fórmula do Método de Jacobi (explicada passo a passo). Para um sistema geral A x=b com A=(a_{ij}), Jacobi escreve cada incógnita isolada na sua própria equação (usando apenas o termo diagonal em a_{ii}) e, para atualizar x_i, usa só os valores da iteração anterior no lado direito. A fórmula geral é
x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\Big(b_i-\sum_{j\ne i}a_{ij}\,x_j^{(k)}\Big).
Aqui:
  • x_i^{(k)} é o valor da i-ésima incógnita na iteração k;
  • a_{ii} é o coeficiente da incógnita x_i na própria equação;
  • b_i é o termo independente da i-ésima equação.
O ponto chave do Jacobi é: para calcular x^{(k+1)} usamos somente os componentes x^{(k)} (todos os j) — ou seja, a atualização é simultânea.

Passo 3

Agora escrevo as fórmulas específicas para o nosso sistema, isolando x_1,x_2,x_3 em cada equação (cada passo segue diretamente da fórmula geral acima):
x_1^{(k+1)}=\frac{1}{4}\big(8 - x_2^{(k)} - x_3^{(k)}\big),
x_2^{(k+1)}=\frac{1}{5}\big(10 - x_1^{(k)} - 2x_3^{(k)}\big),
x_3^{(k+1)}=\frac{1}{3}\big(12 - x_1^{(k)} - 2x_2^{(k)}\big).
Explico cada termo: por exemplo, na primeira equação 4x_1 + x_2 + x_3 = 8 isolamos x_1 dividindo por 4 e passando x_2+x_3 para o outro lado, o que dá a primeira linha acima.
Antes de iterar vale checar rapidamente a diagonal para ter ideia da convergência: as diagonais são 4,5,3 e somas dos outros coeficientes por linha são 1+1=2,\;1+2=3,\;1+2=3. As desigualdades são 4\ge2,\;5\ge3,\;3\ge3 (a última é igualdade), o que sugere que a matriz é, no mínimo, diagonalmente dominante linha a linha (caso favorável para convergência do método Jacobi na prática).

Passo 4

Vamos calcular a primeira iteração x^{(1)} usando x^{(0)}=(0,0,0)^T. Substituo x_2^{(0)}=0 e x_3^{(0)}=0 na fórmula de x_1:
x_1^{(1)}=\frac{1}{4}\big(8-0-0\big)=\frac{8}{4}=2.
Agora x_2^{(1)}: substituo x_1^{(0)}=0 e x_3^{(0)}=0:
x_2^{(1)}=\frac{1}{5}\big(10-0-2\cdot0\big)=\frac{10}{5}=2.
E x_3^{(1)}: substituo x_1^{(0)}=0 e x_2^{(0)}=0:
x_3^{(1)}=\frac{1}{3}\big(12-0-2\cdot0\big)=\frac{12}{3}=4.
Portanto
x^{(1)}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]2\\[4pt]4\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora a segunda iteração x^{(2)}. Usamos os valores de x^{(1)} no lado direito das fórmulas:
Calculo x_1^{(2)}:
x_1^{(2)}=\frac{1}{4}\big(8 - x_2^{(1)} - x_3^{(1)}\big) =\frac{1}{4}\big(8 - 2 - 4\big)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.
Calculo x_2^{(2)}:
x_2^{(2)}=\frac{1}{5}\big(10 - x_1^{(1)} - 2x_3^{(1)}\big) =\frac{1}{5}\big(10 - 2 - 2\cdot4\big)=\frac{1}{5}\big(10-2-8\big)=\frac{0}{5}=0.
Calculo x_3^{(2)}:
x_3^{(2)}=\frac{1}{3}\big(12 - x_1^{(1)} - 2x_2^{(1)}\big) =\frac{1}{3}\big(12 - 2 - 2\cdot2\big)=\frac{1}{3}\big(12-2-4\big)=\frac{6}{3}=2.
Assim
x^{(2)}=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\[4pt]0\\[4pt]2\end{pmatrix}.]

Passo 6

Terceira iteração x^{(3)}: substituo x^{(2)} nas fórmulas.
Calculo x_1^{(3)}:
x_1^{(3)}=\frac{1}{4}\big(8 - x_2^{(2)} - x_3^{(2)}\big) =\frac{1}{4}\big(8 - 0 - 2\big)=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}.
Calculo x_2^{(3)}:
x_2^{(3)}=\frac{1}{5}\big(10 - x_1^{(2)} - 2x_3^{(2)}\big) =\frac{1}{5}\big(10 - \tfrac{1}{2} - 2\cdot2\big) =\frac{1}{5}\big(10 - \tfrac{1}{2} - 4\big) =\frac{1}{5}\big(6 - \tfrac{1}{2}\big) =\frac{1}{5}\cdot\tfrac{11}{2}=\tfrac{11}{10}.
Calculo x_3^{(3)}:
x_3^{(3)}=\frac{1}{3}\big(12 - x_1^{(2)} - 2x_2^{(2)}\big) =\frac{1}{3}\big(12 - \tfrac{1}{2} - 2\cdot0\big) =\frac{1}{3}\cdot\tfrac{23}{2}=\tfrac{23}{6}.
Portanto a iteração final pedida é
x^{(3)}=\begin{pmatrix}\tfrac{3}{2}\\[4pt]\tfrac{11}{10}\\[4pt]\tfrac{23}{6}\end{pmatrix},
ou em decimais aproximados,
x^{(3)}\approx\begin{pmatrix}1{,}5\\[4pt]1{,}1\\[4pt]3{,}833333\end{pmatrix}.]

Resposta

x^{(3)}=\begin{pmatrix}\dfrac{3}{2}\\[6pt]\dfrac{11}{10}\\[6pt]\dfrac{23}{6}\end{pmatrix}]

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