e a tarefa é obter x^{(1)},x^{(2)},x^{(3)} usando Jacobi (três iterações).]
Passo 2
Apresento a fórmula do Método de Jacobi (explicada passo a passo). Para um sistema geral A x=b com A=(a_{ij}), Jacobi escreve cada incógnita isolada na sua própria equação (usando apenas o termo diagonal em a_{ii}) e, para atualizar x_i, usa só os valores da iteração anterior no lado direito. A fórmula geral é
x_i^{(k)} é o valor da i-ésima incógnita na iteração k;
a_{ii} é o coeficiente da incógnita x_i na própria equação;
b_i é o termo independente da i-ésima equação.
O ponto chave do Jacobi é: para calcular x^{(k+1)} usamos somente os componentes x^{(k)} (todos os j) — ou seja, a atualização é simultânea.
Passo 3
Agora escrevo as fórmulas específicas para o nosso sistema, isolando x_1,x_2,x_3 em cada equação (cada passo segue diretamente da fórmula geral acima):
Explico cada termo: por exemplo, na primeira equação 4x_1 + x_2 + x_3 = 8 isolamos x_1 dividindo por 4 e passando x_2+x_3 para o outro lado, o que dá a primeira linha acima.
Antes de iterar vale checar rapidamente a diagonal para ter ideia da convergência: as diagonais são 4,5,3 e somas dos outros coeficientes por linha são 1+1=2,\;1+2=3,\;1+2=3. As desigualdades são 4\ge2,\;5\ge3,\;3\ge3 (a última é igualdade), o que sugere que a matriz é, no mínimo, diagonalmente dominante linha a linha (caso favorável para convergência do método Jacobi na prática).
Passo 4
Vamos calcular a primeira iteração x^{(1)} usando x^{(0)}=(0,0,0)^T. Substituo x_2^{(0)}=0 e x_3^{(0)}=0 na fórmula de x_1: