Resolva as seguintes desigualdades:
Passo 1
O enunciado pede que resolvamos a desigualdade
considerando implicitamente o domínio natural das funções. Informações relevantes dadas:
- A variável
deve pertencer ao domínio de e , ou seja . - Queremos todos os
em que satisfazem a desigualdade acima.
Passo 2
Vamos lembrar propriedades básicas (aula rápida, sem medo): as funções inversas têm intervalos (ranges) bem definidos.
-
tem domínio e imagem (valor principal) . -
tem domínio e imagem .
Também é importante saber queé estritamente crescente em (ou seja, se então ).
Passo 3
Há uma identidade muito útil que liga
e
. Vou provar de forma direta e simples:
seja . Então
e
.
Note que
seja
Note que
e
, que é exatamente o intervalo principal de valores de
. Portanto
Assim obtemos a identidade válida para todo
:
(Esta identidade é muito prática — decora ela!)
Passo 4
Use a identidade para transformar a desigualdade. Substituindo
em
, obtemos
Somando
aos dois lados,
Dividindo por
(positivo, então não inverte a desigualdade),
Passo 5
Agora convertemos a desigualdade em termos de
. Como
é estritamente crescente em
, a relação
é equivalente a
Calcule
. Portanto a desigualdade vira
Passo 6
Lembre que
deve estar no domínio
. Cruzando as condições temos a solução final em forma de intervalo:
Vou checar rapidamente as bordas: para
temos
, logo igualdade (não vale porque desigualdade é estrita). Para
a desigualdade vale, então incluímos
.