Resolva as seguintes desigualdades:
\operatorname{arcsen} x<\operatorname{arccos} x

Passo 1

O enunciado pede que resolvamos a desigualdade
\operatorname{arcsen} x < \operatorname{arccos} x,
considerando implicitamente o domínio natural das funções. Informações relevantes dadas:
  • A variável x deve pertencer ao domínio de \operatorname{arcsen} e \operatorname{arccos}, ou seja x\in[-1,1].
  • Queremos todos os x em [-1,1] que satisfazem a desigualdade acima.

Passo 2

Vamos lembrar propriedades básicas (aula rápida, sem medo): as funções inversas têm intervalos (ranges) bem definidos.
  • \operatorname{arcsin} x tem domínio [-1,1] e imagem (valor principal) \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right].
  • \operatorname{arccos} x tem domínio [-1,1] e imagem [0,\pi].
    Também é importante saber que \operatorname{arcsin} é estritamente crescente em [-1,1] (ou seja, se x_1<x_2 então \operatorname{arcsin}x_1<\operatorname{arcsin}x_2).

Passo 3

Há uma identidade muito útil que liga \operatorname{arcsin} e \operatorname{arccos}. Vou provar de forma direta e simples:
seja \theta=\operatorname{arcsin} x. Então \sin\theta=x e \theta\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right].
Note que
\cos\!\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\sin\theta=x,
e \frac{\pi}{2}-\theta\in[0,\pi], que é exatamente o intervalo principal de valores de \operatorname{arccos}. Portanto
\operatorname{arccos} x=\frac{\pi}{2}-\theta=\frac{\pi}{2}-\operatorname{arcsin}x.
Assim obtemos a identidade válida para todo x\in[-1,1]:
\operatorname{arcsin}x+\operatorname{arccos} x=\frac{\pi}{2}.
(Esta identidade é muito prática — decora ela!)

Passo 4

Use a identidade para transformar a desigualdade. Substituindo \operatorname{arccos} x=\dfrac{\pi}{2}-\operatorname{arcsin}x em \operatorname{arcsin}x<\operatorname{arccos} x, obtemos
\operatorname{arcsin}x < \frac{\pi}{2}-\operatorname{arcsin}x.
Somando \operatorname{arcsin}x aos dois lados,
2\operatorname{arcsin}x < \frac{\pi}{2}.
Dividindo por 2 (positivo, então não inverte a desigualdade),
\operatorname{arcsin}x < \frac{\pi}{4}.

Passo 5

Agora convertemos a desigualdade em termos de x. Como \operatorname{arcsin} é estritamente crescente em [-1,1], a relação \operatorname{arcsin}x < \dfrac{\pi}{4} é equivalente a
x < \sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right).
Calcule \sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Portanto a desigualdade vira
x < \frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 6

Lembre que x deve estar no domínio [-1,1]. Cruzando as condições temos a solução final em forma de intervalo:
x\in\left[-1,\frac{\sqrt{2}}{2}\right).
Vou checar rapidamente as bordas: para x=\dfrac{\sqrt{2}}{2} temos \operatorname{arcsin}x=\dfrac{\pi}{4}=\operatorname{arccos} x, logo igualdade (não vale porque desigualdade é estrita). Para x=-1 a desigualdade vale, então incluímos -1.

Resposta

\left[-1,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)

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