Prove as seguintes identidades:
\operatorname{arctg} x \pm \operatorname{arctg} y=\operatorname{arctg} \frac{x \pm y}{1 \mp x y}

Passo 1

O enunciado pede para provar as igualdades
\operatorname{arctg} x \pm \operatorname{arctg} y=\operatorname{arctg} \frac{x \pm y}{1 \mp x y}.
Informações dadas e implicações imediatas que temos que usar:
  • x e y são números reais quaisquer (não foram dadas restrições).
  • \operatorname{arctg} x é o arco-tangente de x, isto é, o ângulo A no intervalo (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}) tal que \tan A = x.
  • Analogamente, \operatorname{arctg} y é o ângulo B em (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}) com \tan B = y.
  • Não há figura ou tabela; tudo que precisamos está no texto acima.

Passo 2

Vamos introduzir variáveis-ângulo para trabalhar de forma clara. Defina
A=\operatorname{arctg} x,\qquad B=\operatorname{arctg} y.
Por definição de \operatorname{arctg} temos \tan A = x e \tan B = y, e os ângulos A e B satisfazem
A,B\in\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right).
Explicar isso com calma: a função \operatorname{arctg} pega um número real e devolve o ângulo entre -\tfrac{\pi}{2} e \tfrac{\pi}{2} cujo tangente é esse número. Portanto agora podemos traduzir a igualdade que queremos provar em termos desses ângulos:
queremos relacionar A\pm B com \operatorname{arctg} de alguma razão envolvendo x e y.

Passo 3

Apresentar e demonstrar a fórmula da tangente da soma (fórmula que vamos usar). A fórmula é
\tan(A\pm B)=\frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A\,\tan B}.
Derivação curta e didática: usando as fórmulas seno e cosseno da soma,
\sin(A\pm B)=\sin A\cos B\pm\cos A\sin B,
\cos(A\pm B)=\cos A\cos B\mp\sin A\sin B.
Dividindo as duas expressões obtemos
\tan(A\pm B)=\frac{\sin(A\pm B)}{\cos(A\pm B)} =\frac{\sin A\cos B\pm\cos A\sin B}{\cos A\cos B\mp\sin A\sin B}.
Agora divida numerador e denominador por \cos A\cos B; como \cos A\cos B\neq0 (porque A,B\in(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})), obtemos
\tan(A\pm B)=\frac{\tan A\pm\tan B}{1\mp\tan A\,\tan B},
que era o que queríamos demonstrar. Aqui eu lembrei que \tan A=\frac{\sin A}{\cos A} e \tan B=\frac{\sin B}{\cos B}.

Passo 4

Substituir \tan A=x e \tan B=y na fórmula da tangente da soma. Isso dá, diretamente,
\tan(A\pm B)=\frac{x\pm y}{1\mp x y}.
Esta é uma igualdade de números reais (ou infinito se o denominador for zero). Ela diz que a tangente do ângulo A\pm B é exatamente a razão indicada no enunciado.

Passo 5

Interpretar o que acontece ao aplicar \operatorname{arctg} ao lado direito. Lembrete importante sobre inversas:
  • Para um ângulo t com t\in\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right) vale \operatorname{arctg}(\tan t)=t.
  • Para um ângulo geral t vale apenas que \operatorname{arctg}(\tan t)=t-k\pi para algum k\in\mathbb{Z}, de forma que o resultado fique no intervalo principal (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}). Em outras palavras, \operatorname{arctg} é a inversa de \tan restrita ao intervalo principal.
Aplicando \operatorname{arctg} à igualdade do Passo 4 obtemos
\operatorname{arctg}\big(\tan(A\pm B)\big)=\operatorname{arctg}\frac{x\pm y}{1\mp x y}.
Usando o comentário acima, o lado esquerdo é A\pm B se A\pm B\in\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right); em caso contrário ele é A\pm B - k\pi para algum inteiro k apropriado que “traz” o ângulo para o intervalo principal. Portanto concluímos que
A\pm B=\operatorname{arctg}\frac{x\pm y}{1\mp x y}+k\pi
para algum k\in\mathbb{Z} que depende de x e y.

Passo 6

Interpretar o caso especial quando o denominador (1\mp x y) é zero. Se 1\mp x y=0 então a razão \dfrac{x\pm y}{1\mp x y} tende a \pm\infty (ou é indeterminada se também x\pm y=0). No caso típico em que 1\mp x y=0 e x\pm y\neq0 temos \tan(A\pm B) “infinito”, o que significa que
A\pm B=\pm\tfrac{\pi}{2}+m\pi
para algum m\in\mathbb{Z}. Por outro lado \operatorname{arctg}(\pm\infty)=\pm\tfrac{\pi}{2}. Então a igualdade com possível adição de k\pi do Passo 5 continua válida também no caso do denominador nulo (desde que se interprete corretamente os sinais).

Passo 7

Resumir e explicitar a forma final da identidade, destacando a condição em que a igualdade é exata (sem termo adicional) e o que ocorre no caso geral:
  • Se A\pm B\in\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right), isto é, se \operatorname{arctg} x \pm \operatorname{arctg} y cai no intervalo principal, então
\operatorname{arctg} x \pm \operatorname{arctg} y=\operatorname{arctg}\frac{x\pm y}{1\mp x y}.
  • No caso geral, a igualdade vale até um múltiplo inteiro de \pi:
\operatorname{arctg} x \pm \operatorname{arctg} y=\operatorname{arctg}\frac{x\pm y}{1\mp x y}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Como exemplo numérico rápido para fixar a ideia: se x=y=2 então \operatorname{arctg}2\approx1{,}107 e \operatorname{arctg}2+\operatorname{arctg}2\approx2{,}214, enquanto \dfrac{2+2}{1-4}=-\tfrac{4}{3} e \operatorname{arctg}(-\tfrac{4}{3})\approx-0{,}927; somando \pi a -0{,}927 obtemos 2{,}214, exatamente o valor da soma, ilustrando a necessidade do +k\pi em geral.

Resposta

\operatorname{arctg} x \pm \operatorname{arctg} y=\operatorname{arctg} \frac{x \pm y}{1 \mp x y}, se -\tfrac{\pi}{2}<\operatorname{arctg} x \pm \operatorname{arctg} y<\tfrac{\pi}{2}.\n \operatorname{arctg} x \pm \operatorname{arctg} y=\operatorname{arctg} \frac{x \pm y}{1 \mp x y}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}

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