Prove as seguintes identidades:
Passo 1
O enunciado pede para provar as igualdades
.
Informações dadas e implicações imediatas que temos que usar:
Informações dadas e implicações imediatas que temos que usar:
-
e são números reais quaisquer (não foram dadas restrições). -
é o arco-tangente de , isto é, o ângulo no intervalo tal que . - Analogamente,
é o ângulo em com . - Não há figura ou tabela; tudo que precisamos está no texto acima.
Passo 2
Vamos introduzir variáveis-ângulo para trabalhar de forma clara. Defina
Por definição de
temos
e
, e os ângulos
e
satisfazem
Explicar isso com calma: a função
pega um número real e devolve o ângulo entre
e
cujo tangente é esse número. Portanto agora podemos traduzir a igualdade que queremos provar em termos desses ângulos:
queremos relacionar com
de alguma razão envolvendo
e
.
queremos relacionar
Passo 3
Apresentar e demonstrar a fórmula da tangente da soma (fórmula que vamos usar). A fórmula é
Derivação curta e didática: usando as fórmulas seno e cosseno da soma,
Dividindo as duas expressões obtemos
Agora divida numerador e denominador por
; como
(porque
), obtemos
que era o que queríamos demonstrar. Aqui eu lembrei que
e
.
Passo 4
Substituir
e
na fórmula da tangente da soma. Isso dá, diretamente,
Esta é uma igualdade de números reais (ou infinito se o denominador for zero). Ela diz que a tangente do ângulo
é exatamente a razão indicada no enunciado.
Passo 5
Interpretar o que acontece ao aplicar
ao lado direito. Lembrete importante sobre inversas:
- Para um ângulo
com vale . - Para um ângulo geral
vale apenas que para algum , de forma que o resultado fique no intervalo principal . Em outras palavras, é a inversa de restrita ao intervalo principal.
Aplicando
à igualdade do Passo 4 obtemos
Usando o comentário acima, o lado esquerdo é
se
; em caso contrário ele é
para algum inteiro
apropriado que “traz” o ângulo para o intervalo principal. Portanto concluímos que
para algum
que depende de
e
.
Passo 6
Interpretar o caso especial quando o denominador
é zero. Se
então a razão
tende a
(ou é indeterminada se também
). No caso típico em que
e
temos
“infinito”, o que significa que
para algum
. Por outro lado
. Então a igualdade com possível adição de
do Passo 5 continua válida também no caso do denominador nulo (desde que se interprete corretamente os sinais).
Passo 7
Resumir e explicitar a forma final da identidade, destacando a condição em que a igualdade é exata (sem termo adicional) e o que ocorre no caso geral:
- Se
, isto é, se cai no intervalo principal, então
- No caso geral, a igualdade vale até um múltiplo inteiro de
:
Como exemplo numérico rápido para fixar a ideia: se
então
e
, enquanto
e
; somando
a
obtemos
, exatamente o valor da soma, ilustrando a necessidade do
em geral.