Resolva as seguintes desigualdades:
\operatorname{arctg} x>-\frac{\pi}{3}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
\arctan(x)>-\frac{\pi}{3}.
Aqui o conteúdo é a função inversa da tangente. Sabemos que \arctan\colon\mathbb{R}\to\bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr) é estritamente crescente, o que permite aplicar a tangente em ambos os lados da desigualdade sem inverter o sinal.

Passo 2

Como \arctan(x) é crescente, então
\arctan(x)>-\frac{\pi}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad x>\tan\Bigl(-\frac{\pi}{3}\Bigr).
E \tan\bigl(-\tfrac{\pi}{3}\bigr)=-\sqrt{3}. Logo a solução é
x>-\sqrt{3}.

Resposta

\displaystyle(-\sqrt{3},+\infty)

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