Considere a função
f(x, y)=\frac{3(x-1)^{2}+5(y-1)^{2}}{x^{2}+y^{2}},
definida em \mathbb{R}^{2} \setminus\{(0,0)\}.
(a) Determine a curva de nível 4 de f.

Passo 1

O enunciado pede a curva de nível 4 da função
f(x,y)=\frac{3(x-1)^{2}+5(y-1)^{2}}{x^{2}+y^{2}},
isto é, o lugar geométrico dos pontos (x,y) tais que f(x,y)=4. Vamos ver que isso leva a uma cônica e depois colocá-la em sua forma canônica.

Passo 2

Impondo f(x,y)=4 temos
\frac{3(x-1)^{2}+5(y-1)^{2}}{x^{2}+y^{2}}=4.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por x^{2}+y^{2} resulta
3(x-1)^{2}+5(y-1)^{2}=4\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).

Passo 4

Expandindo e reorganizando em uma só equação de segundo grau:
3(x^{2}-2x+1)+5(y^{2}-2y+1)=4x^{2}+4y^{2},
3x^{2}+5y^{2}-6x-10y+8 = 4x^{2}+4y^{2},
-\,x^{2}+y^{2}-6x-10y+8=0.
Multiplicando por -1
x^{2}-y^{2}+6x+10y-8=0.

Passo 5

Para identificar a cônica, completamos quadrados em x e y:
x^{2}+6x = (x+3)^{2}-9,
-\,y^{2}+10y = -\bigl((y-5)^{2}-25\bigr)= -\,(y-5)^{2}+25.
Substituindo em x^{2}-y^{2}+6x+10y-8=0 obtemos
(x+3)^{2}-9 \;-\;(y-5)^{2}+25 \;-\;8 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x+3)^{2} - (y-5)^{2} +8 = 0,
ou seja
(y-5)^{2} - (x+3)^{2} = 8.

Passo 6

Em forma canônica, dividindo ambos os lados por 8:
\frac{(y-5)^{2}}{8} \;-\;\frac{(x+3)^{2}}{8} \;=\;1,
que é uma hipérbole centrada em (-3,5), com eixos paralelos aos eixos coordenados.

Resposta

A curva de nível 4 é a hipérbole
\frac{(y-5)^{2}}{8} \;-\;\frac{(x+3)^{2}}{8} = 1.

Exercícios relacionados