Determine e faça um esboço do domínio das seguintes funções:
(a) f(x, y)=\sqrt{y+x} \cdot \ln (x-y).

Passo 1

O enunciado pede o domínio de
f(x,y)=\sqrt{y+x}\;\ln(x-y).
Para existir em \mathbb{R}, precisamos que o radicando de \sqrt{\cdot} seja não-negativo e o argumento de \ln(\cdot) seja estritamente positivo.

Passo 2

Condição da raiz quadrada:
y+x \ge 0
que equivale a
y \ge -x.

Passo 3

Condição do logaritmo natural:
x - y > 0
que equivale a
y < x.

Passo 4

Interseção das duas condições:
D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y \ge -x \;\text{e}\; y < x\}.

Passo 5

Esboço do domínio:
  • Desenhe a reta y=-x como fronteira sólida (inclusa).
  • Desenhe a reta y=x como fronteira tracejada (não incluída).
  • Sombreie a região entre elas, isto é, acima de y=-x e estritamente abaixo de y=x.

Resposta

D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y \ge -x \quad\text{e}\quad y < x\}.

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