Resolva as seguintes desigualdades:
(e) x(x-1)(x+2)(x+4) >= 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade racional
x(x-1)(x+2)(x+4) >= 0
ou seja, encontrar o conjunto de valores de x que tornam o quociente não negativo. Para isso vamos identificar zeros do numerador, zeros do denominador (pontos de descontinuidade) e depois analisar o sinal em cada intervalo resultante.

Passo 2

Encontramos os pontos críticos:
  • Numerador x(x-1)=0 dá raízes em x=0 e x=1. Nesses pontos a fração vale zero.
  • Denominador (x+2)(x+4)=0 dá raízes em x=-2 e x=-4. Esses valores não pertencem ao domínio, pois anulam o denominador.

Passo 3

Analisamos o sinal separadamente:
1. Sinal de x(x-1):
  • Positivo se x<0 ou x>1.
  • Negativo se 0<x<1.
  • Zero em x=0,1.
    2. Sinal de (x+2)(x+4):
  • Positivo se x<-4 ou x>-2.
  • Negativo se -4<x<-2.
  • Zero em x=-4,-2 (fora do domínio).

Passo 4

Dividindo a reta real nos intervalos (-infty,-4), (-4,-2), (-2,0), (0,1), (1,infty) e combinando os sinais:
  • Em (-infty,-4): numerador > 0, denominador > 0Rightarrow quociente > 0.
  • Em (-4,-2): numerador > 0, denominador < 0Rightarrow quociente < 0.
  • Em (-2,0): numerador > 0, denominador > 0Rightarrow quociente > 0.
  • Em (0,1): numerador < 0, denominador > 0Rightarrow quociente < 0.
  • Em (1,infty): numerador > 0, denominador > 0Rightarrow quociente > 0.
Além disso, em x=0 e x=1 a expressão vale zero e satisfaz “ >=0”, enquanto em x=-4 e x=-2 a expressão é indefinida.

Passo 5

Juntando os intervalos onde a fração é positiva ou zero e excluindo os pontos de descontinuidade, obtemos a solução:
(-infty,-4);cup;(-2,0];cup;[1,infty)

Resposta

(-infty,-4);cup;(-2,0];cup;[1,infty)

Exercícios relacionados