Resolva as seguintes desigualdades:
(d) (x-1)(x+2)(x-3) <= 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
(x-1)(x+2)(x-3)<= 0
Isto é um polinômio de grau 3 fatorado. Para resolver, precisamos encontrar os pontos em que cada fator zera (os “pontos críticos”) e depois analisar o sinal do produto em cada intervalo determinado por esses pontos.

Passo 2

Encontre as raízes de cada fator, isto é, os valores de x que anulam (x-1), (x+2) e (x-3):
x-1=0implies x=1, x+2=0implies x=-2, x-3=0implies x=3

Passo 3

Essas raízes particionam a reta real em quatro intervalos:
(-infty,-2), (-2,1), (1,3), (3,infty)
Vamos determinar o sinal de (x-1)(x+2)(x-3) em cada intervalo, escolhendo um ponto teste.
  1. Para x<-2, por exemplo x=-3:
    (x-1)<0,;(x+2)<0,;(x-3)<0
    três sinais negativos implies produto negativo.
  2. Para -2<x<1, por exemplo x=0:
    (x-1)<0,;(x+2)>0,;(x-3)<0
    dois negativos e um positivo implies produto positivo.
  3. Para 1<x<3, por exemplo x=2:
    (x-1)>0,;(x+2)>0,;(x-3)<0
    dois positivos e um negativo implies produto negativo.
  4. Para x>3, por exemplo x=4:
    (x-1)>0,;(x+2)>0,;(x-3)>0
    três positivos implies produto positivo.

Passo 4

Queremos (x-1)(x+2)(x-3)<=0, ou seja, produto negativo ou zero. Pelos testes:
  • Produto negativo em (-infty,-2) e em (1,3).
  • Produto zero nos pontos x=-2, x=1 e x=3.
Logo a solução é a união destes conjuntos, incluindo as raízes:

Resposta

(-infty,-2];cup;[1,3]

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