Resolva as seguintes EDO pelo método clássico:
\ddot{y}(t)+8 dot{y}(t)+16 y(t)=u(t), u(t)=7, dot{y}(0)=0\(e\)y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
\ddot{y}(t) + 8\,\dot{y}(t) + 16\,y(t) = u(t),
onde u(t)=7, sujeita às condições iniciais \dot{y}(0)=0 e y(0)=1. Vamos usar o método clássico: encontrar a solução homogênea, uma solução particular e aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Para achar a solução homogênea, consideramos a equação associada
\ddot{y}_h + 8\,\dot{y}_h + 16\,y_h = 0.
Escrevemos a equação característica
r^2 + 8r + 16 = 0
e resolvemos para r.

Passo 3

A equação característica tem discriminante \Delta = 8^2 - 4\cdot1\cdot16 = 64 - 64 = 0, ou seja, raiz dupla
r = \frac{-8}{2} = -4 \quad(\text{multiplicidade }2).
Logo a solução homogênea é
y_h(t) = C_1 e^{-4t} + C_2\,t\,e^{-4t}.

Passo 4

Procuramos uma solução particular constante y_p(t)=A. Nesse caso \dot{y}_p=0 e \ddot{y}_p=0. Substituindo em
0 + 8\cdot0 + 16\,A = 7
obtém-se
A = \frac{7}{16}.
Portanto
y_p(t) = \frac{7}{16}.

Passo 5

A solução geral da equação é a soma das duas partes:
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_1 e^{-4t} + C_2\,t\,e^{-4t} + \frac{7}{16}.

Passo 6

Aplicamos as condições iniciais para determinar C_1 e C_2. Em t=0 temos
y(0)=C_1 + 0 + \frac{7}{16} = 1 \quad\Longrightarrow\quad C_1 = 1 - \frac{7}{16} = \frac{9}{16}.
Derivando y(t):
\dot{y}(t) = -4\,C_1 e^{-4t} + C_2\,e^{-4t} -4\,C_2\,t\,e^{-4t},
então em t=0
\dot{y}(0) = -4\,C_1 + C_2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad C_2 = 4\,C_1 = 4\cdot\frac{9}{16} = \frac{9}{4}.

Resposta

y(t) = \frac{9}{16}e^{-4t} + \frac{9}{4}\,t\,e^{-4t} + \frac{7}{16}.

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