Resolva as seguintes edo:
9 x^{3} y^{\prime \prime \prime}-39 x^{2} y^{\prime \prime}+19 x y^{\prime}-24 y=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
9x^{3}y''' - 39x^{2}y'' + 19xy' - 24y = 0
que é uma equação de Euler–Cauchy (ou equidimensional). Para esse tipo de equação, usamos a substituição tentativa
y = x^{r}.

Passo 2

Substituindo y = x^{r} obtemos
y' = r\,x^{r-1},\quad y'' = r(r-1)\,x^{r-2},\quad y''' = r(r-1)(r-2)\,x^{r-3}.
Logo cada termo da EDO vale:
9x^{3}y''' = 9\,r(r-1)(r-2)\,x^{r},\quad -39x^{2}y'' = -39\,r(r-1)\,x^{r},
19x\,y' = 19\,r\,x^{r},\quad -24y = -24\,x^{r}.
Fatorando x^{r} e anulando-o, surge a equação característica
9r(r-1)(r-2) \;-\;39r(r-1)\;+\;19r\;-\;24 = 0.

Passo 3

Expandindo a característica:
9\bigl(r^3 -3r^2 +2r\bigr) -39\bigl(r^2 - r\bigr) +19r -24 = 0 \;\Longrightarrow\; 9r^3 -66r^2 +76r -24 = 0.
Teste r=6:
9\cdot6^3 -66\cdot6^2 +76\cdot6 -24 = 0,
logo r=6 é raiz. Fazendo divisão polinomial por (r-6), obtemos o quociente
9r^2 -12r +4 = 0
cuja discriminante é
\Delta = (-12)^2 -4\cdot9\cdot4 =144 -144 =0,
logo essa equação tem raiz dupla
r = \frac{12}{18} = \tfrac{2}{3},\quad \text{multiplicidade 2}.

Passo 4

Pela teoria de Euler–Cauchy, cada raiz simples r_1 gera solução x^{r_1} e cada raiz dupla r_2 gera soluções
\,x^{r_2} e x^{r_2}\ln(x). Assim, com r_1=6 e r_2=2/3, a solução geral é
y(x) = C_{1}\,x^{6} \;+\; C_{2}\,x^{\tfrac{2}{3}} \;+\; C_{3}\,x^{\tfrac{2}{3}}\ln(x),
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C_{1}\,x^{6} + C_{2}\,x^{\tfrac{2}{3}} + C_{3}\,x^{\tfrac{2}{3}}\ln(x).

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